Номер 83, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

83. Решите неравенство и отметьте на координатной оси множество всех его решений:

а) $(x - 9)(x - 2) > 0$

б) $(x - 8)(x - 19) < 0$

в) $(x + 3)(x - 5) < 0$

г) $(x - 4)(x + 7) > 0$

а) $(x - 9)(x - 2) > 0$

Для решения неравенства применим метод интервалов.

1. Найдём корни левой части, приравняв её к нулю: $(x - 9)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = 2$.

2. Отметим корни на координатной оси. Поскольку неравенство строгое (знак $> $), точки $2$ и $9$ будут выколотыми, то есть не будут входить в решение. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 9)$ и $(9; \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x - 9)(x - 2)$ в каждом интервале. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(9; \infty)$, например $x=10$.
$(10 - 9)(10 - 2) = 1 \cdot 8 = 8$, что больше нуля. Значит, в этом интервале ставим знак "+".
Так как все корни имеют кратность 1 (не повторяются), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, получаем знаки: +, −, +.

Изобразим это на координатной оси. Нам нужны интервалы со знаком "+", так как по условию выражение должно быть больше нуля.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 2)$ и $(9; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (9; \infty)$.

б) $(x - 8)(x - 19) < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x - 8)(x - 19) = 0$.
Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = 19$.

2. Отметим выколотые точки $8$ и $19$ на координатной оси, так как неравенство строгое (знак $< $). Точки делят ось на интервалы $(-\infty; 8)$, $(8; 19)$ и $(19; \infty)$.

3. Определим знаки выражения в интервалах. Для $x > 19$ (например, $x=20$): $(20 - 8)(20 - 19) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля (знак "−").

Решением является интервал $(8; 19)$.

Ответ: $x \in (8; 19)$.

в) $(x + 3)(x - 5) < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x + 3)(x - 5) = 0$.
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

2. Отметим выколотые точки $-3$ и $5$ на координатной оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$ и $(5; \infty)$.

3. Определим знаки. Для $x > 5$ (например, $x=6$): $(6 + 3)(6 - 5) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нам нужен интервал со знаком "−", так как неравенство $< 0$.

Решением является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $x \in (-3; 5)$.

г) $(x - 4)(x + 7) > 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x - 4)(x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

2. Отметим выколотые точки $-7$ и $4$ на координатной оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -7)$, $(-7; 4)$ и $(4; \infty)$.

3. Определим знаки. Для $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 - 4)(5 + 7) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нам нужны интервалы со знаком "+", так как неравенство $> 0$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (4; \infty)$.