Номер 82, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

82. Составьте неравенство второй степени с одним неизвестным, все решения которого отмечены на рисунке 24 штриховкой.

a) + - +

$2$ $5$ $x$

б) + - +

$4$ $7$ $x$

в) + - +

$-3$ $-1$ $x$

г) + - +

$-17$ $-5$ $x$

Рис. 24

а)

На рисунке заштрихован интервал между точками 2 и 5. Это означает, что решением неравенства является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $2 < x < 5$. Граничные точки $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$ являются корнями соответствующего квадратного трехчлена, и они не включены в решение (обозначены "выколотыми" точками).

Квадратный трехчлен, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$. Для простоты выберем коэффициент $a=1$ (это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх). Тогда выражение примет вид: $(x - 2)(x - 5)$.

Раскроем скобки, чтобы получить неравенство в стандартном виде: $(x - 2)(x - 5) = x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10$.

На рисунке показано, что на интервале $(2; 5)$ выражение принимает отрицательные значения (отмечено знаком "−"). Поскольку точки не включены в решение, неравенство является строгим. Таким образом, искомое неравенство: $x^2 - 7x + 10 < 0$.

Ответ: $x^2 - 7x + 10 < 0$.

б)

На рисунке заштрихован интервал $(4; 7)$. Корнями соответствующего квадратного уравнения являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Составим квадратный трехчлен с этими корнями, положив старший коэффициент $a=1$: $(x - 4)(x - 7)$.

Раскроем скобки: $(x - 4)(x - 7) = x^2 - 7x - 4x + 28 = x^2 - 11x + 28$.

На интервале $(4; 7)$ функция, согласно рисунку, отрицательна (знак "−"). Так как точки выколоты, неравенство строгое. Следовательно, искомое неравенство имеет вид: $x^2 - 11x + 28 < 0$.

Ответ: $x^2 - 11x + 28 < 0$.

в)

На рисунке заштрихована область, состоящая из двух интервалов: $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$. Это означает, что решением является объединение $x < -3$ или $x > -1$. Корнями квадратного уравнения, соответствующего этому неравенству, являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Составим квадратный трехчлен с данными корнями, приняв $a=1$: $(x - (-3))(x - (-1)) = (x + 3)(x + 1)$.

Раскроем скобки: $(x + 3)(x + 1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$.

На заштрихованных интервалах функция принимает положительные значения (отмечено знаком "+"). Неравенство является строгим, поскольку точки $x=-3$ и $x=-1$ выколоты. Таким образом, получаем неравенство: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

г)

Решением неравенства, показанного на рисунке, является объединение интервалов $(-\infty; -17) \cup (-5; +\infty)$. Корнями соответствующего квадратного уравнения являются $x_1 = -17$ и $x_2 = -5$.

Составим квадратный трехчлен с этими корнями, положив $a=1$: $(x - (-17))(x - (-5)) = (x + 17)(x + 5)$.

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид: $(x + 17)(x + 5) = x^2 + 5x + 17x + 85 = x^2 + 22x + 85$.

На рисунке видно, что на указанных интервалах функция положительна (знак "+"). Точки выколоты, значит, неравенство строгое. Искомое неравенство: $x^2 + 22x + 85 > 0$.

Ответ: $x^2 + 22x + 85 > 0$.