Номер 81, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

81. На рисунке 23 отмечены числа 1 и 3, обращающие произведение $(x - 1)(x - 3)$ в нуль. Определите, какие знаки имеет каждый множитель и их произведение на интервалах I, II, III.

Рис. 23

Данное выражение - это произведение двух множителей: $(x-1)$ и $(x-3)$. Числа 1 и 3 являются корнями этого выражения, так как при $x=1$ или $x=3$ произведение равно нулю. Эти точки делят числовую ось на три интервала: I, II и III. Определим знаки множителей и их произведения на каждом из этих интервалов, используя метод интервалов.

I

Этот интервал соответствует значениям $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=0$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $0 - 1 = -1$. Знак "минус" (-).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $0 - 3 = -3$. Знак "минус" (-).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение двух отрицательных чисел является положительным, то есть $(-)\cdot(-) = (+)$. Знак "плюс" (+).
Ответ: На интервале I множитель $(x-1)$ имеет знак "минус", множитель $(x-3)$ имеет знак "минус", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "плюс".

II

Этот интервал соответствует значениям $1 < x < 3$, то есть $x \in (1; 3)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=2$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $2 - 1 = 1$. Знак "плюс" (+).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $2 - 3 = -1$. Знак "минус" (-).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным, то есть $(+)\cdot(-) = (-)$. Знак "минус" (-).
Ответ: На интервале II множитель $(x-1)$ имеет знак "плюс", множитель $(x-3)$ имеет знак "минус", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "минус".

III

Этот интервал соответствует значениям $x > 3$, то есть $x \in (3; +\infty)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=4$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $4 - 1 = 3$. Знак "плюс" (+).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $4 - 3 = 1$. Знак "плюс" (+).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение двух положительных чисел является положительным, то есть $(+)\cdot(+) = (+)$. Знак "плюс" (+).
Ответ: На интервале III множитель $(x-1)$ имеет знак "плюс", множитель $(x-3)$ имеет знак "плюс", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "плюс".