Номер 79, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

79. a) Как решается неравенство второй степени с положительным дискриминантом?

б) Как используется график квадратичной функции для решения неравенства второй степени?

в) Имеют ли решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c < 0$, если $a > 0$ и их дискриминант больше нуля?

а) Как решается неравенство второй степени с положительным дискриминантом?

Неравенство второй степени — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$ (знак неравенства может быть также $\ge$ или $\le$), где $a \ne 0$. Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ положителен ($D = b^2 - 4ac > 0$), то для решения неравенства используется следующий алгоритм, известный как метод интервалов:

1. Найти корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
Примем для определенности, что $x_1 < x_2$.

2. Отметить найденные корни $x_1$ и $x_2$ на числовой оси. Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty, x_1)$, $(x_1, x_2)$ и $(x_2, \infty)$.

3. Определить знак выражения $ax^2 + bx + c$ на каждом из этих промежутков. Это можно сделать, подставив любое "пробное" число из каждого промежутка в выражение, но проще использовать свойство квадратичной функции: её график (парабола) сохраняет знак между корнями и по разные стороны от них.

- Если старший коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Это значит, что выражение $ax^2 + bx + c$ будет положительным на крайних промежутках и отрицательным на среднем.
То есть: $ax^2 + bx + c > 0$ при $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$;
$ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (x_1, x_2)$.

- Если старший коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. В этом случае выражение будет отрицательным на крайних промежутках и положительным на среднем.
То есть: $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$;
$ax^2 + bx + c > 0$ при $x \in (x_1, x_2)$.

4. Выбрать те промежутки, которые соответствуют знаку исходного неравенства, и записать их в ответ. Если неравенство нестрогое ( $\ge$ или $\le$ ), то корни $x_1$ и $x_2$ также включаются в решение (промежутки становятся отрезками или лучами с включенными концами).

Ответ: Чтобы решить неравенство второй степени с положительным дискриминантом, нужно найти два корня соответствующего квадратного уравнения, нанести их на числовую ось и определить знаки квадратного трехчлена на получившихся трех интервалах (например, по знаку старшего коэффициента), после чего выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства.

б) Как используется график квадратичной функции для решения неравенства второй степени?

Решение неравенства второй степени, например $ax^2 + bx + c > 0$, можно свести к вопросу: "при каких значениях $x$ график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ расположен выше оси абсцисс (оси Ox)?". Аналогично, решение неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ сводится к поиску значений $x$, при которых график функции расположен ниже оси Ox.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$:
- если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх;
- если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения и есть абсциссы точек пересечения. Количество корней зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
- если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках;
- если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине);
- если $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит либо выше, либо ниже нее.

3. Схематически изобразить параболу, учитывая направление ее ветвей и точки пересечения с осью Ox.

4. Определить решение неравенства по графику. Глядя на схематический график, нужно найти промежутки по оси Ox, на которых парабола (значения $y$) удовлетворяет знаку неравенства:
- для неравенства вида "> 0" выбираются промежутки, где график расположен выше оси Ox;
- для неравенства вида "< 0" выбираются промежутки, где график расположен ниже оси Ox.

Например, для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ при $a > 0$ и $D > 0$ (ветви вверх, два корня $x_1 < x_2$), график будет выше оси Ox на промежутках $(-\infty, x_1)$ и $(x_2, \infty)$. Это и будет решением.

Ответ: График квадратичной функции используется для наглядного представления знаков трехчлена. Определив направление ветвей параболы и ее точки пересечения с осью Ox (корни уравнения), можно по схематическому рисунку определить, на каких интервалах функция принимает положительные (график выше оси), а на каких — отрицательные (график ниже оси) значения, и выбрать нужные в соответствии со знаком неравенства.

в) Имеют ли решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c < 0$, если $a > 0$ и их дискриминант больше нуля?

Да, при заданных условиях оба неравенства имеют решения. Проанализируем это с помощью графика функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.

2. Условие, что дискриминант больше нуля ($D = b^2 - 4ac > 0$), означает, что соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Обозначим их $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$). Эти корни являются точками пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox).

Таким образом, мы имеем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в двух точках.

- Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$: мы ищем значения $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Поскольку ветви параболы уходят вверх в бесконечность, такие промежутки существуют. Это области "вне корней": слева от меньшего корня $x_1$ и справа от большего корня $x_2$. Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.

- Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$: мы ищем значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Так как парабола пересекает ось, у нее есть часть, расположенная под осью. Эта часть находится между точками пересечения. Решением является интервал между корнями: $x \in (x_1, x_2)$.

Следовательно, оба неравенства имеют непустые множества решений.

Ответ: Да, оба неравенства имеют решения. Решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ будет объединение двух бесконечных интервалов, а решением неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ — интервал между корнями.