Номер 75, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

75. a) $x^2 - 11,7x + 17 < 0 (\sqrt{3})$;

б) $x^2 - 11,4x + 14 > 0 (\sqrt{2})$;

в) $x^2 + x - 12 > 0 (\pi)$;

г) $x^2 - 2x - 15 < 0 (-\pi)$?

а)

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{3}$ решением неравенства $x^2 - 11,7x + 17 < 0$, подставим $x = \sqrt{3}$ в левую часть неравенства:

$(\sqrt{3})^2 - 11,7 \cdot \sqrt{3} + 17 = 3 - 11,7\sqrt{3} + 17 = 20 - 11,7\sqrt{3}$.

Теперь необходимо определить знак полученного выражения. Для этого сравним числа $20$ и $11,7\sqrt{3}$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$20^2 = 400$

$(11,7\sqrt{3})^2 = 11,7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 136,89 \cdot 3 = 410,67$.

Так как $400 < 410,67$, то и $20 < 11,7\sqrt{3}$. Отсюда следует, что разность $20 - 11,7\sqrt{3}$ отрицательна.

Таким образом, неравенство $20 - 11,7\sqrt{3} < 0$ является верным. Это означает, что число $\sqrt{3}$ является решением исходного неравенства.

Ответ: Да, является.

б)

Чтобы проверить, является ли число $\sqrt{2}$ решением неравенства $x^2 - 11,4x + 14 > 0$, подставим $x = \sqrt{2}$ в левую часть:

$(\sqrt{2})^2 - 11,4 \cdot \sqrt{2} + 14 = 2 - 11,4\sqrt{2} + 14 = 16 - 11,4\sqrt{2}$.

Определим знак этого выражения, сравнив числа $16$ и $11,4\sqrt{2}$. Сравним их квадраты:

$16^2 = 256$

$(11,4\sqrt{2})^2 = 11,4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 129,96 \cdot 2 = 259,92$.

Поскольку $256 < 259,92$, то $16 < 11,4\sqrt{2}$. Следовательно, разность $16 - 11,4\sqrt{2}$ отрицательна.

Таким образом, неравенство $16 - 11,4\sqrt{2} > 0$ является неверным. Значит, число $\sqrt{2}$ не является решением исходного неравенства.

Ответ: Нет, не является.

в)

Чтобы проверить, является ли число $\pi$ решением неравенства $x^2 + x - 12 > 0$, решим это неравенство.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(x+4)(x-3) > 0$. Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Теперь определим, принадлежит ли число $\pi$ этому множеству. Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Так как $3,14159 > 3$, число $\pi$ входит в интервал $(3; +\infty)$ и, следовательно, является решением данного неравенства.

Ответ: Да, является.

г)

Проверим, является ли число $-\pi$ решением неравенства $x^2 - 2x - 15 < 0$. Для этого решим данное неравенство.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Неравенство можно представить в виде $(x+3)(x-5) < 0$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ направлены вверх, поэтому значения функции отрицательны при $x$, находящихся между корнями.

Решением неравенства является интервал $x \in (-3; 5)$.

Теперь проверим, принадлежит ли число $-\pi$ этому интервалу. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159$, значит $-\pi \approx -3,14159$.

Поскольку $-3,14159 < -3$, число $-\pi$ не принадлежит интервалу $(-3; 5)$. Следовательно, $-\pi$ не является решением данного неравенства.

Ответ: Нет, не является.