Номер 76, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

76. Напишите неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$, равносильное неравенству:

а) $-x^2 + 5x + 7 > 0;$

б) $-2x^2 - 4x + 8 < 0;$

в) $-\frac{1}{3}x^2 + 9 > 0;$

г) $-\frac{3}{5}x^2 - 5 < 0.$

а) В исходном неравенстве $-x^2 + 5x + 7 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицателен. Чтобы получить равносильное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$, необходимо умножить обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`). Это преобразование выглядит так: $(-1) \cdot (-x^2 + 5x + 7) < 0 \cdot (-1)$, что приводит к неравенству $x^2 - 5x - 7 < 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 - 5x - 7 < 0$

б) В неравенстве $-2x^2 - 4x + 8 < 0$ коэффициент при $x^2$ равен $-2$, то есть он отрицательный. Для преобразования разделим все члены неравенства на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`). Преобразование: $\frac{-2x^2 - 4x + 8}{-2} > \frac{0}{-2}$, что дает в результате равносильное неравенство $x^2 + 2x - 4 > 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 + 2x - 4 > 0$

в) В неравенстве $-\frac{1}{3}x^2 + 9 > 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный. Умножим обе части неравенства на $-3$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным и избавиться от дроби. При умножении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный (с `>` на `<`): $(-3) \cdot (-\frac{1}{3}x^2 + 9) < 0 \cdot (-3)$. В результате получаем равносильное неравенство $x^2 - 27 < 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $1$, что является положительным числом.
Ответ: $x^2 - 27 < 0$

г) В неравенстве $-\frac{3}{5}x^2 - 5 < 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный. Чтобы сделать его положительным и избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $-5$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный (с `<` на `>`). Преобразование: $(-5) \cdot (-\frac{3}{5}x^2 - 5) > 0 \cdot (-5)$, что приводит к равносильному неравенству $3x^2 + 25 > 0$. Коэффициент при $x^2$ теперь равен $3$, что является положительным числом.
Ответ: $3x^2 + 25 > 0$