Номер 80, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

80. Приведите неравенство:

а) $-x^2 - 5x - 6 < 0;$

б) $-x^2 - 7x + 8 > 0;$

в) $3x^2 - 15x - 18 > 0;$

г) $-2x^2 - 8x + 10 > 0$

к виду $(x - x_1)(x - x_2) > 0$ или $(x - x_1)(x - x_2) < 0.$

а) Для того чтобы привести неравенство $-x^2 - 5x - 6 < 0$ к требуемому виду, необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $-x^2 - 5x - 6$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 - 5x - 6 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$
Любой квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ можно представить в виде $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае $a=-1$, $x_1=-3$, $x_2=-2$.
$-x^2 - 5x - 6 = -1(x - (-3))(x - (-2)) = -(x+3)(x+2)$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $-(x+3)(x+2) < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $(x+3)(x+2) > 0$.
Ответ: $(x-(-3))(x-(-2)) > 0$ или $(x+3)(x+2) > 0$.

б) Рассмотрим неравенство $-x^2 - 7x + 8 > 0$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 7x + 8 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$: $x^2 + 7x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$
Разложим на множители трехчлен $-x^2 - 7x + 8$, где $a=-1$: $-x^2 - 7x + 8 = -1(x - (-8))(x - 1) = -(x+8)(x-1)$.
Подставим в неравенство: $-(x+8)(x-1) > 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x+8)(x-1) < 0$.
Ответ: $(x-(-8))(x-1) < 0$ или $(x+8)(x-1) < 0$.

в) Рассмотрим неравенство $3x^2 - 15x - 18 > 0$.
Для упрощения разделим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется): $x^2 - 5x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$
Теперь можно записать приведенное неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ в виде произведения: $(x - (-1))(x - 6) > 0$.
Ответ: $(x-(-1))(x-6) > 0$ или $(x+1)(x-6) > 0$.

г) Рассмотрим неравенство $-2x^2 - 8x + 10 > 0$.
Разделим обе части неравенства на $-2$ (так как $-2 < 0$, знак неравенства меняется на противоположный): $x^2 + 4x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$
Запишем приведенное неравенство $x^2 + 4x - 5 < 0$ в виде произведения: $(x - (-5))(x - 1) < 0$.
Ответ: $(x-(-5))(x-1) < 0$ или $(x+5)(x-1) < 0$.