Номер 84, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (84–89):

84. а) $(2x - 1)(3x + 5) < 0$; б) $(1,2x - 0,5)(7x - 1) < 0$;

в) $(4x + 3)(5x + 2) > 0$; г) $(1\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) > 0$.

а) Чтобы решить неравенство $(2x - 1)(3x + 5) < 0$, воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(3x + 5) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}$
2) $3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3}$
Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{5}{3})$, $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.
Выражение $(2x - 1)(3x + 5)$ представляет собой квадратичную функцию $y = 6x^2 + 7x - 5$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $2 \cdot 3 = 6 > 0$).
Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$

б) Решим неравенство $(1,2x - 0,5)(7x - 1) < 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(1,2x - 0,5)(7x - 1) = 0$:
1) $1,2x - 0,5 = 0 \Rightarrow 1,2x = 0,5 \Rightarrow x = \frac{0,5}{1,2} = \frac{5}{12}$
2) $7x - 1 = 0 \Rightarrow 7x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$
Сравним корни: $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $84$:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{12}{84}$
Так как $\frac{12}{84} < \frac{35}{84}$, то $\frac{1}{7} < \frac{5}{12}$.
Коэффициент при $x^2$ в левой части неравенства положителен ($1,2 \cdot 7 = 8,4 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $(\frac{1}{7}, \frac{5}{12})$

в) Решим неравенство $(4x + 3)(5x + 2) > 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(4x + 3)(5x + 2) = 0$:
1) $4x + 3 = 0 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x_1 = -\frac{3}{4}$
2) $5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{5}$
Сравним корни: $-\frac{3}{4} = -0,75$ и $-\frac{2}{5} = -0,4$. Таким образом, $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{5}$.
Коэффициент при $x^2$ положителен ($4 \cdot 5 = 20 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней, то есть при значениях $x$, меньших меньшего корня, и при значениях $x$, больших большего корня.
Ответ: $(-\infty, -\frac{3}{4}) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$

г) Решим неравенство $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) > 0$. Найдем корни уравнения $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) = 0$:
1) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = -\frac{1}{12} \Rightarrow x = -\frac{1}{12} \cdot 3 = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
2) $0,7x + 4 = 0 \Rightarrow 0,7x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{0,7} = -\frac{40}{7}$
Сравним корни: $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{40}{7}$.
$-\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7}$, а $-\frac{1}{4} = -0,25$.
Очевидно, что $-\frac{40}{7} < -\frac{1}{4}$.
Коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{3} \cdot 0,7 = \frac{7}{30} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty, -\frac{40}{7}) \cup (-\frac{1}{4}, +\infty)$