Номер 90, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

90. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:

а) $x^2 - 3x + 2 > 0$;

б) $x^2 + 4x + 3 < 0$;

в) $x^2 + 5x + 6 < 0$;

г) $x^2 - 5x + 4 > 0$;

д) $3x^2 - 2x - 5 < 0$;

е) $4x^2 - x - 3 < 0$;

ж) $7x^2 + 2x - 5 > 0$;

з) $10x^2 + 3x - 1 > 0$.

а) $x^2 - 3x + 2 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 2$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, то есть точки пересечения графика с осью Ox. Для этого решим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутках, где график находится выше оси Ox, то есть при $x < 1$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

б) $x^2 + 4x + 3 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = -1$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -3 и -1. Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) на промежутке между корнями.

Ответ: $x \in (-3; -1)$.

в) $x^2 + 5x + 6 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 5x + 6$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -3 и -2. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда график находится ниже оси Ox, то есть между точками пересечения.

Ответ: $x \in (-3; -2)$.

г) $x^2 - 5x + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 4. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

д) $3x^2 - 2x - 5 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - 2x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=3>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -1 и $5/3$. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; \frac{5}{3})$.

е) $4x^2 - x - 3 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - x - 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=4>0$).

Найдем нули функции: $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$; $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-3/4$ и 1. Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между этими точками.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; 1)$.

ж) $7x^2 + 2x - 5 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 7x^2 + 2x - 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=7>0$).

Найдем нули функции: $7x^2 + 2x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках -1 и $5/7$. Функция принимает положительные значения ($y > 0$) вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{7}; +\infty)$.

з) $10x^2 + 3x - 1 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 10x^2 + 3x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=10>0$).

Найдем нули функции: $10x^2 + 3x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Парабола пересекает ось Ox в точках $-1/2$ и $1/5$. Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда график находится выше оси Ox, то есть левее точки $-1/2$ и правее точки $1/5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.