Номер 94, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

94. Исследуем. Найдите значение $k$, при котором неравенство:

а) $x^2 - 3x + k < 0$ верно только для $x \in (1; 2);

б) $-x^2 + x + k > 0$ верно только для $x \in (-2; 3).

а)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство $x^2 - 3x + k < 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Для параболы с ветвями вверх это интервал между ее корнями.

По условию задачи, решением неравенства является интервал $x \in (1; 2)$. Это означает, что числа 1 и 2 являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x + k = 0$.

Чтобы найти значение $k$, мы можем подставить один из корней в уравнение. Подставим $x=1$:

$1^2 - 3 \cdot 1 + k = 0$

$1 - 3 + k = 0$

$-2 + k = 0$

$k = 2$

Для проверки можно подставить второй корень $x=2$: $2^2 - 3 \cdot 2 + k = 0$, что дает $4 - 6 + k = 0$, и снова получаем $k=2$.

Другой способ — использовать теорему Виета. Для уравнения $x^2 - 3x + k = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $k$. Так как корни равны 1 и 2, получаем: $k = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $k=2$.

б)

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + x + k$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число).

Неравенство $-x^2 + x + k > 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс. Для параболы с ветвями вниз это интервал между ее корнями.

По условию задачи, решением неравенства является интервал $x \in (-2; 3)$. Это означает, что числа -2 и 3 являются корнями квадратного уравнения $-x^2 + x + k = 0$.

Чтобы найти значение $k$, подставим один из корней в уравнение. Подставим $x=3$:

$-(3)^2 + 3 + k = 0$

$-9 + 3 + k = 0$

$-6 + k = 0$

$k = 6$

Для проверки можно подставить второй корень $x=-2$: $-(-2)^2 + (-2) + k = 0$, что дает $-4 - 2 + k = 0$, и снова получаем $k=6$.

Другой способ — использовать теорему Виета. Умножим уравнение $-x^2 + x + k = 0$ на -1, чтобы получить приведенное уравнение: $x^2 - x - k = 0$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $-k$. Так как корни равны -2 и 3, получаем: $-k = (-2) \cdot 3 = -6$, откуда $k=6$.

Ответ: $k=6$.