Номер 89, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

89. a) $2x^2 - 3 < 0;$

б) $7x^2 - 1 > 0;$

в) $5 - 0,2x^2 > 0;$

г) $1,2 - 3x^2 < 0.$

а) $2x^2 - 3 < 0$
Для решения данного неполного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 3 = 0$.
$2x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{2}$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале, расположенном между корнями параболы.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2})$

б) $7x^2 - 1 > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $7x^2 - 1 = 0$.
$7x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{7}$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{7}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент $a=7 > 0$). Значения функции будут положительными ($y > 0$) на промежутках, находящихся вне корней.
Следовательно, решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{7}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{\sqrt{7}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{7}; +\infty)$

в) $5 - 0,2x^2 > 0$
Найдем корни уравнения $5 - 0,2x^2 = 0$.
$5 = 0,2x^2$
$x^2 = \frac{5}{0,2} = \frac{5}{1/5} = 25$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{25} = \pm 5$.
График функции $y = 5 - 0,2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-0,2 < 0$). Значения функции будут положительными ($y > 0$) на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (-5; 5)$.
Ответ: $(-5; 5)$

г) $1,2 - 3x^2 < 0$
Найдем корни уравнения $1,2 - 3x^2 = 0$.
$1,2 = 3x^2$
$x^2 = \frac{1,2}{3} = 0,4$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{0,4} = \pm\sqrt{\frac{4}{10}} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{5}$.
График функции $y = 1,2 - 3x^2$ — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент $a=-3 < 0$). Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на промежутках за пределами корней.
Следовательно, решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -\sqrt{0,4}) \cup (\sqrt{0,4}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{0,4}) \cup (\sqrt{0,4}; +\infty)$