Номер 95, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

95. Имеет ли решения неравенство второй степени, если его дискриминант равен нулю? Какие случаи возможны?

Да, неравенство второй степени, дискриминант которого равен нулю, может иметь решения, но не во всех случаях. Наличие и характер решений зависят от знака неравенства и от знака старшего коэффициента.

Рассмотрим неравенство второй степени $ax^2 + bx + c \lor 0$, где $\lor$ — один из знаков $>, <, \ge, \le$.
Если дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0$, то соответствующий квадратный трехчлен имеет один корень (или два совпадающих корня) $x_0 = -b/(2a)$. В этом случае трехчлен можно представить в виде полного квадрата:$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.

Выражение $(x - x_0)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - x_0)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Оно равно нулю только при $x = x_0$.Поэтому знак всего выражения $a(x - x_0)^2$ зависит только от знака коэффициента $a$.

Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 > 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 > 0$. Оно выполняется для всех $x$, кроме $x = x_0$.
  Ответ: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
  Ответ: Решений нет.

Случай 2: Неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 \ge 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 \ge 0$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$.
  Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 \le 0$. Это неравенство выполняется только в одном случае: когда $(x - x_0)^2 = 0$, то есть при $x = x_0$.
  Ответ: $x = x_0$.

Случай 3: Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 < 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 < 0$. Оно не имеет решений.
  Ответ: Решений нет.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 > 0$. Оно выполняется для всех $x$, кроме $x = x_0$.
  Ответ: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; +\infty)$.

Случай 4: Неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$

Это неравенство эквивалентно $a(x - x_0)^2 \le 0$.

• Если $a > 0$, то неравенство принимает вид $(x - x_0)^2 \le 0$. Оно выполняется только при $x = x_0$.
  Ответ: $x = x_0$.
• Если $a < 0$, то, разделив на $a$, получим $(x - x_0)^2 \ge 0$. Оно выполняется для всех действительных чисел $x$.
  Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.