Номер 97, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

97. Найдите все x, при каждом из которых выражение:

а) $2x^2$;

б) $\frac{x^2}{2}$;

в) $(x+3)^2$;

г) $(x-1)^2$

принимает положительное значение.

а) Чтобы выражение $2x^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$2x^2 > 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Равенство $x^2 = 0$ достигается только при $x = 0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме нуля.
Ответ: $x \ne 0$.

б) Чтобы выражение $\frac{x^2}{2}$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{x^2}{2} > 0$
Умножим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не изменится:
$x^2 > 0$
Это неравенство аналогично тому, что было в пункте а). Его решение — все действительные числа $x$, кроме $x = 0$.
Ответ: $x \ne 0$.

в) Чтобы выражение $(x + 3)^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$(x + 3)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения является неотрицательным числом, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \ne -3$.

г) Чтобы выражение $(x - 1)^2$ принимало положительное значение, оно должно быть строго больше нуля. Составим и решим неравенство:
$(x - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного выражения является неотрицательным числом, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, когда основание степени равно нулю:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 1$.
Ответ: $x \ne 1$.