Номер 92, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

92. При каких значениях $x$ точки графика квадратичной функции:

а) $y = x^2 - 6x + 8;$

б) $y = x^2 - 2x - 8;$

в) $y = -x^2 + 2x + 3;$

г) $y = -x^2 + x + 12$

расположены выше оси $Ox$? ниже оси $Ox$?

Чтобы определить, при каких значениях x точки графика функции расположены выше оси Ox (то есть $y > 0$) или ниже оси Ox (то есть $y < 0$), необходимо для каждой функции найти её нули (точки пересечения с осью Ox) и определить направление ветвей параболы.

1. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$, $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) на промежутках левее и правее корней. График находится ниже оси Ox ($y < 0$) между корнями.

Таким образом:

• Выше оси Ox: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (2; 4)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; ниже оси Ox при $x \in (2; 4)$.

1. Найдем нули функции: $x^2 - 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 2, произведение -8. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.

Через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$, $x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

3. График функции выше оси Ox ($y > 0$) вне интервала между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) на интервале между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-2; 4)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$; ниже оси Ox при $x \in (-2; 4)$.

1. Найдем нули функции: $-x^2 + 2x + 3 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 2, произведение -3. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Через дискриминант для $-x^2 + 2x + 3 = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm 4}{-2}$

$x_1 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3$, $x_2 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) на интервале между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) вне интервала между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-1; 3)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-1; 3)$; ниже оси Ox при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

1. Найдем нули функции: $-x^2 + x + 12 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней 1, произведение -12. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Через дискриминант для $-x^2 + x + 12 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 12 = 1 + 48 = 49$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 \pm 7}{-2}$

$x_1 = \frac{-1 - 7}{-2} = 4$, $x_2 = \frac{-1 + 7}{-2} = -3$.

2. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

3. График функции находится выше оси Ox ($y > 0$) между корнями, и ниже оси Ox ($y < 0$) вне интервала между корнями.

• Выше оси Ox: $x \in (-3; 4)$.
• Ниже оси Ox: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: Выше оси Ox при $x \in (-3; 4)$; ниже оси Ox при $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.