Номер 86, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

86. а) $x^2 - 4 > 0;$

б) $x^2 - 9 < 0;$

в) $x^2 - 100 < 0;$

г) $1 - x^2 > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 - 4 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4 = 0$.
Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Приравняем множители к нулю: $(x - 2)(x + 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
Неравенство $x^2 - 4 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.
Следовательно, решением являются интервалы $x < -2$ и $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

б) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.
Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх.
Неравенство $x^2 - 9 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола лежит ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < 3$.
Ответ: $x \in (-3; 3)$

в) Решим неравенство $x^2 - 100 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 100 = 0$.
Разложим на множители: $(x - 10)(x + 10) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.
Функция $y = x^2 - 100$ — это парабола, ветви которой направлены вверх.
Мы ищем значения $x$, при которых $y < 0$, то есть когда парабола находится ниже оси Ox. Это интервал между корнями.
Решение неравенства: $-10 < x < 10$.
Ответ: $x \in (-10; 10)$

г) Решим неравенство $1 - x^2 > 0$.
Найдем корни уравнения $1 - x^2 = 0$.
Разложим на множители: $(1 - x)(1 + x) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Рассмотрим функцию $y = 1 - x^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1).
Неравенство $1 - x^2 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вниз это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$