Номер 93, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

93. Укажите все значения $x$, при каждом из которых квадратичная функция:

а) $y = x^2 + 1,5x - 1;$

б) $y = x^2 - 3,5x + 2;$

в) $y = 4x^2 + 19x - 5;$

г) $y = 3x^2 - 5x - 2;$

д) $y = -2x^2 + 5x + 3;$

е) $y = -3x^2 - 8x + 9$

принимает положительные значения; отрицательные значения.

Для нахождения всех значений $x$, при которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить соответствующие квадратные неравенства. Общий план решения для каждой функции $y = ax^2 + bx + c$:

1. Найти корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни являются точками пересечения графика функции с осью абсцисс.
2. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
3. На основе корней и направления ветвей определить промежутки, на которых функция положительна ($y > 0$) и отрицательна ($y < 0$).

1. Найдем корни уравнения $x^2 + 1,5x - 1 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = 0,5$.

2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

3. Следовательно, функция положительна ($y > 0$) при значениях $x$ вне интервала между корнями и отрицательна ($y < 0$) между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-2; 0,5)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (0,5; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-2; 0,5)$.

1. Найдем корни уравнения $x^2 - 3,5x + 2 = 0$. Умножим на 2: $2x^2 - 7x + 4 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$.

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{4}$, $x_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{4}$.

2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{17}}{4}; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (\frac{7 - \sqrt{17}}{4}; \frac{7 + \sqrt{17}}{4})$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; \frac{7 - \sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{7 + \sqrt{17}}{4}; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (\frac{7 - \sqrt{17}}{4}; \frac{7 + \sqrt{17}}{4})$.

1. Найдем корни уравнения $4x^2 + 19x - 5 = 0$.

Дискриминант: $D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 = 21^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-19 \pm 21}{2 \cdot 4} = \frac{-19 \pm 21}{8}$.

$x_1 = \frac{-19 - 21}{8} = -5$, $x_2 = \frac{-19 + 21}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ или $0,25$.

2. Старший коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -5) \cup (0,25; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-5; 0,25)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -5) \cup (0,25; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-5; 0,25)$.

1. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

2. Старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Функция положительна вне интервала между корнями, отрицательна — между корнями.

Положительные значения: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$.

Отрицательные значения: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (2; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

1. Найдем корни уравнения $-2x^2 + 5x + 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$, $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

2. Старший коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Следовательно, функция положительна ($y > 0$) между корнями и отрицательна ($y < 0$) вне интервала между корнями.

Положительные значения: $x \in (-0,5; 3)$.

Отрицательные значения: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-0,5; 3)$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

1. Найдем корни уравнения $-3x^2 - 8x + 9 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + 8x - 9 = 0$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 64 + 108 = 172$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 43}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{43}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{43}}{3}$.

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{43}}{3}$.

2. Старший коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Функция положительна между корнями, отрицательна — вне интервала между корнями.

Положительные значения: $x \in (\frac{-4 - \sqrt{43}}{3}; \frac{-4 + \sqrt{43}}{3})$.

Отрицательные значения: $x \in (-\infty; \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}) \cup (\frac{-4 + \sqrt{43}}{3}; +\infty)$.

Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (\frac{-4 - \sqrt{43}}{3}; \frac{-4 + \sqrt{43}}{3})$; отрицательные значения при $x \in (-\infty; \frac{-4 - \sqrt{43}}{3}) \cup (\frac{-4 + \sqrt{43}}{3}; +\infty)$.