Номер 88, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

88. a) $0,5x^2 - x < 0;$

б) $1,3x^2 - 2x < 0;$

в) $3\frac{1}{2}x - x^2 > 0;$

г) $\frac{7}{8}x^2 - 1\frac{3}{5}x > 0.$

а) Для решения неравенства $0,5x^2 - x < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $0,5x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$0,5x - 1 = 0 \Rightarrow 0,5x = 1 \Rightarrow x_2 = 2$
Теперь рассмотрим параболу $y = 0,5x^2 - x$. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $0,5x^2 - x < 0$ — это интервал $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (0, 2)$.

б) Решим неравенство $1,3x^2 - 2x < 0$.
Найдем корни уравнения $1,3x^2 - 2x = 0$:
$x(1,3x - 2) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$1,3x - 2 = 0 \Rightarrow 1,3x = 2 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{1,3} = \frac{20}{13}$
Парабола $y = 1,3x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент $1,3 > 0$. Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{20}{13}$. Неравенство $1,3x^2 - 2x < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (0, \frac{20}{13})$.

в) Решим неравенство $3\frac{1}{2}x - x^2 > 0$.
Перепишем неравенство в более удобном виде: $-x^2 + \frac{7}{2}x > 0$.
Найдем корни уравнения $-x^2 + \frac{7}{2}x = 0$:
$x(-x + \frac{7}{2}) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$-x + \frac{7}{2} = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{7}{2}$
Парабола $y = -x^2 + \frac{7}{2}x$ имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный). Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{7}{2}$. Значения функции положительны на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (0, \frac{7}{2})$.

г) Решим неравенство $\frac{7}{8}x^2 - 1\frac{3}{5}x > 0$.
Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x > 0$.
Найдем корни уравнения $\frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x = 0$:
$x(\frac{7}{8}x - \frac{8}{5}) = 0$
Корни уравнения:
$x_1 = 0$
$\frac{7}{8}x - \frac{8}{5} = 0 \Rightarrow \frac{7}{8}x = \frac{8}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{8}{5} \div \frac{7}{8} = \frac{8}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{64}{35}$
Парабола $y = \frac{7}{8}x^2 - \frac{8}{5}x$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент $\frac{7}{8} > 0$). Она пересекает ось $x$ в точках $0$ и $\frac{64}{35}$. Значения функции положительны на интервалах вне отрезка между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(\frac{64}{35}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{64}{35}, +\infty)$.