Номер 87, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

87. а) $x^2 - 3 > 0;$

б) $x^2 - 5 < 0;$

в) $2 - x^2 < 0;$

г) $13 - x^2 > 0.$

а)

Для решения неравенства $x^2 - 3 > 0$ используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3 = 0$.

$x^2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

б)

Решим неравенство $x^2 - 5 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$.

$x^2 = 5$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ее на три интервала.

График функции $y = x^2 - 5$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2 - 5 < 0$ — это интервал $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}; \sqrt{5})$

в)

Решим неравенство $2 - x^2 < 0$. Найдем нули функции $y = 2 - x^2$, решив уравнение $2 - x^2 = 0$.

$x^2 = 2$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = 2 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Значит, функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $2 - x^2 < 0$ выполняется, когда $x$ находится левее $-\sqrt{2}$ или правее $\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

г)

Решим неравенство $13 - x^2 > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $13 - x^2 = 0$.

$x^2 = 13$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{13}$ и $x_2 = \sqrt{13}$.

Функция $y = 13 - x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Эта функция принимает положительные значения на интервале между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $13 - x^2 > 0$ — это интервал $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{13}; \sqrt{13})$