Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

79. a) Как решается неравенство второй степени с положительным дискриминантом?

б) Как используется график квадратичной функции для решения неравенства второй степени?

в) Имеют ли решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c < 0$, если $a > 0$ и их дискриминант больше нуля?

а) Как решается неравенство второй степени с положительным дискриминантом?

Неравенство второй степени — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c < 0$ (знак неравенства может быть также $\ge$ или $\le$), где $a \ne 0$. Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ положителен ($D = b^2 - 4ac > 0$), то для решения неравенства используется следующий алгоритм, известный как метод интервалов:

1. Найти корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
Примем для определенности, что $x_1 < x_2$.

2. Отметить найденные корни $x_1$ и $x_2$ на числовой оси. Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty, x_1)$, $(x_1, x_2)$ и $(x_2, \infty)$.

3. Определить знак выражения $ax^2 + bx + c$ на каждом из этих промежутков. Это можно сделать, подставив любое "пробное" число из каждого промежутка в выражение, но проще использовать свойство квадратичной функции: её график (парабола) сохраняет знак между корнями и по разные стороны от них.

- Если старший коэффициент $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх. Это значит, что выражение $ax^2 + bx + c$ будет положительным на крайних промежутках и отрицательным на среднем.
То есть: $ax^2 + bx + c > 0$ при $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$;
$ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (x_1, x_2)$.

- Если старший коэффициент $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз. В этом случае выражение будет отрицательным на крайних промежутках и положительным на среднем.
То есть: $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$;
$ax^2 + bx + c > 0$ при $x \in (x_1, x_2)$.

4. Выбрать те промежутки, которые соответствуют знаку исходного неравенства, и записать их в ответ. Если неравенство нестрогое ( $\ge$ или $\le$ ), то корни $x_1$ и $x_2$ также включаются в решение (промежутки становятся отрезками или лучами с включенными концами).

Ответ: Чтобы решить неравенство второй степени с положительным дискриминантом, нужно найти два корня соответствующего квадратного уравнения, нанести их на числовую ось и определить знаки квадратного трехчлена на получившихся трех интервалах (например, по знаку старшего коэффициента), после чего выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства.

б) Как используется график квадратичной функции для решения неравенства второй степени?

Решение неравенства второй степени, например $ax^2 + bx + c > 0$, можно свести к вопросу: "при каких значениях $x$ график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ расположен выше оси абсцисс (оси Ox)?". Аналогично, решение неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ сводится к поиску значений $x$, при которых график функции расположен ниже оси Ox.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы. Это зависит от знака старшего коэффициента $a$:
- если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх;
- если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни этого уравнения и есть абсциссы точек пересечения. Количество корней зависит от дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
- если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках;
- если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине);
- если $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит либо выше, либо ниже нее.

3. Схематически изобразить параболу, учитывая направление ее ветвей и точки пересечения с осью Ox.

4. Определить решение неравенства по графику. Глядя на схематический график, нужно найти промежутки по оси Ox, на которых парабола (значения $y$) удовлетворяет знаку неравенства:
- для неравенства вида "> 0" выбираются промежутки, где график расположен выше оси Ox;
- для неравенства вида "< 0" выбираются промежутки, где график расположен ниже оси Ox.

Например, для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ при $a > 0$ и $D > 0$ (ветви вверх, два корня $x_1 < x_2$), график будет выше оси Ox на промежутках $(-\infty, x_1)$ и $(x_2, \infty)$. Это и будет решением.

Ответ: График квадратичной функции используется для наглядного представления знаков трехчлена. Определив направление ветвей параболы и ее точки пересечения с осью Ox (корни уравнения), можно по схематическому рисунку определить, на каких интервалах функция принимает положительные (график выше оси), а на каких — отрицательные (график ниже оси) значения, и выбрать нужные в соответствии со знаком неравенства.

в) Имеют ли решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ и $ax^2 + bx + c < 0$, если $a > 0$ и их дискриминант больше нуля?

Да, при заданных условиях оба неравенства имеют решения. Проанализируем это с помощью графика функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.

2. Условие, что дискриминант больше нуля ($D = b^2 - 4ac > 0$), означает, что соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Обозначим их $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$). Эти корни являются точками пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox).

Таким образом, мы имеем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в двух точках.

- Для неравенства $ax^2 + bx + c > 0$: мы ищем значения $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Поскольку ветви параболы уходят вверх в бесконечность, такие промежутки существуют. Это области "вне корней": слева от меньшего корня $x_1$ и справа от большего корня $x_2$. Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.

- Для неравенства $ax^2 + bx + c < 0$: мы ищем значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ox. Так как парабола пересекает ось, у нее есть часть, расположенная под осью. Эта часть находится между точками пересечения. Решением является интервал между корнями: $x \in (x_1, x_2)$.

Следовательно, оба неравенства имеют непустые множества решений.

Ответ: Да, оба неравенства имеют решения. Решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ будет объединение двух бесконечных интервалов, а решением неравенства $ax^2 + bx + c < 0$ — интервал между корнями.

80. Приведите неравенство:

а) $-x^2 - 5x - 6 < 0;$

б) $-x^2 - 7x + 8 > 0;$

в) $3x^2 - 15x - 18 > 0;$

г) $-2x^2 - 8x + 10 > 0$

к виду $(x - x_1)(x - x_2) > 0$ или $(x - x_1)(x - x_2) < 0.$

а) Для того чтобы привести неравенство $-x^2 - 5x - 6 < 0$ к требуемому виду, необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $-x^2 - 5x - 6$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 - 5x - 6 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$
Любой квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ можно представить в виде $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае $a=-1$, $x_1=-3$, $x_2=-2$.
$-x^2 - 5x - 6 = -1(x - (-3))(x - (-2)) = -(x+3)(x+2)$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $-(x+3)(x+2) < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $(x+3)(x+2) > 0$.
Ответ: $(x-(-3))(x-(-2)) > 0$ или $(x+3)(x+2) > 0$.

б) Рассмотрим неравенство $-x^2 - 7x + 8 > 0$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 7x + 8 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$: $x^2 + 7x - 8 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$
Разложим на множители трехчлен $-x^2 - 7x + 8$, где $a=-1$: $-x^2 - 7x + 8 = -1(x - (-8))(x - 1) = -(x+8)(x-1)$.
Подставим в неравенство: $-(x+8)(x-1) > 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x+8)(x-1) < 0$.
Ответ: $(x-(-8))(x-1) < 0$ или $(x+8)(x-1) < 0$.

в) Рассмотрим неравенство $3x^2 - 15x - 18 > 0$.
Для упрощения разделим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется): $x^2 - 5x - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$
Теперь можно записать приведенное неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ в виде произведения: $(x - (-1))(x - 6) > 0$.
Ответ: $(x-(-1))(x-6) > 0$ или $(x+1)(x-6) > 0$.

г) Рассмотрим неравенство $-2x^2 - 8x + 10 > 0$.
Разделим обе части неравенства на $-2$ (так как $-2 < 0$, знак неравенства меняется на противоположный): $x^2 + 4x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$
Запишем приведенное неравенство $x^2 + 4x - 5 < 0$ в виде произведения: $(x - (-5))(x - 1) < 0$.
Ответ: $(x-(-5))(x-1) < 0$ или $(x+5)(x-1) < 0$.

81. На рисунке 23 отмечены числа 1 и 3, обращающие произведение $(x - 1)(x - 3)$ в нуль. Определите, какие знаки имеет каждый множитель и их произведение на интервалах I, II, III.

Рис. 23

Данное выражение - это произведение двух множителей: $(x-1)$ и $(x-3)$. Числа 1 и 3 являются корнями этого выражения, так как при $x=1$ или $x=3$ произведение равно нулю. Эти точки делят числовую ось на три интервала: I, II и III. Определим знаки множителей и их произведения на каждом из этих интервалов, используя метод интервалов.

I

Этот интервал соответствует значениям $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=0$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $0 - 1 = -1$. Знак "минус" (-).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $0 - 3 = -3$. Знак "минус" (-).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение двух отрицательных чисел является положительным, то есть $(-)\cdot(-) = (+)$. Знак "плюс" (+).
Ответ: На интервале I множитель $(x-1)$ имеет знак "минус", множитель $(x-3)$ имеет знак "минус", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "плюс".

II

Этот интервал соответствует значениям $1 < x < 3$, то есть $x \in (1; 3)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=2$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $2 - 1 = 1$. Знак "плюс" (+).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $2 - 3 = -1$. Знак "минус" (-).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным, то есть $(+)\cdot(-) = (-)$. Знак "минус" (-).
Ответ: На интервале II множитель $(x-1)$ имеет знак "плюс", множитель $(x-3)$ имеет знак "минус", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "минус".

III

Этот интервал соответствует значениям $x > 3$, то есть $x \in (3; +\infty)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=4$.
Определим знак первого множителя $(x-1)$: $4 - 1 = 3$. Знак "плюс" (+).
Определим знак второго множителя $(x-3)$: $4 - 3 = 1$. Знак "плюс" (+).
Определим знак произведения $(x-1)(x-3)$: произведение двух положительных чисел является положительным, то есть $(+)\cdot(+) = (+)$. Знак "плюс" (+).
Ответ: На интервале III множитель $(x-1)$ имеет знак "плюс", множитель $(x-3)$ имеет знак "плюс", а их произведение $(x-1)(x-3)$ имеет знак "плюс".

82. Составьте неравенство второй степени с одним неизвестным, все решения которого отмечены на рисунке 24 штриховкой.

a) + - +

$2$ $5$ $x$

б) + - +

$4$ $7$ $x$

в) + - +

$-3$ $-1$ $x$

г) + - +

$-17$ $-5$ $x$

Рис. 24

а)

На рисунке заштрихован интервал между точками 2 и 5. Это означает, что решением неравенства является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $2 < x < 5$. Граничные точки $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$ являются корнями соответствующего квадратного трехчлена, и они не включены в решение (обозначены "выколотыми" точками).

Квадратный трехчлен, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, можно записать в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$. Для простоты выберем коэффициент $a=1$ (это соответствует параболе, ветви которой направлены вверх). Тогда выражение примет вид: $(x - 2)(x - 5)$.

Раскроем скобки, чтобы получить неравенство в стандартном виде: $(x - 2)(x - 5) = x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10$.

На рисунке показано, что на интервале $(2; 5)$ выражение принимает отрицательные значения (отмечено знаком "−"). Поскольку точки не включены в решение, неравенство является строгим. Таким образом, искомое неравенство: $x^2 - 7x + 10 < 0$.

Ответ: $x^2 - 7x + 10 < 0$.

б)

На рисунке заштрихован интервал $(4; 7)$. Корнями соответствующего квадратного уравнения являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Составим квадратный трехчлен с этими корнями, положив старший коэффициент $a=1$: $(x - 4)(x - 7)$.

Раскроем скобки: $(x - 4)(x - 7) = x^2 - 7x - 4x + 28 = x^2 - 11x + 28$.

На интервале $(4; 7)$ функция, согласно рисунку, отрицательна (знак "−"). Так как точки выколоты, неравенство строгое. Следовательно, искомое неравенство имеет вид: $x^2 - 11x + 28 < 0$.

Ответ: $x^2 - 11x + 28 < 0$.

в)

На рисунке заштрихована область, состоящая из двух интервалов: $(-\infty; -3)$ и $(-1; +\infty)$. Это означает, что решением является объединение $x < -3$ или $x > -1$. Корнями квадратного уравнения, соответствующего этому неравенству, являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Составим квадратный трехчлен с данными корнями, приняв $a=1$: $(x - (-3))(x - (-1)) = (x + 3)(x + 1)$.

Раскроем скобки: $(x + 3)(x + 1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$.

На заштрихованных интервалах функция принимает положительные значения (отмечено знаком "+"). Неравенство является строгим, поскольку точки $x=-3$ и $x=-1$ выколоты. Таким образом, получаем неравенство: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

г)

Решением неравенства, показанного на рисунке, является объединение интервалов $(-\infty; -17) \cup (-5; +\infty)$. Корнями соответствующего квадратного уравнения являются $x_1 = -17$ и $x_2 = -5$.

Составим квадратный трехчлен с этими корнями, положив $a=1$: $(x - (-17))(x - (-5)) = (x + 17)(x + 5)$.

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид: $(x + 17)(x + 5) = x^2 + 5x + 17x + 85 = x^2 + 22x + 85$.

На рисунке видно, что на указанных интервалах функция положительна (знак "+"). Точки выколоты, значит, неравенство строгое. Искомое неравенство: $x^2 + 22x + 85 > 0$.

Ответ: $x^2 + 22x + 85 > 0$.

83. Решите неравенство и отметьте на координатной оси множество всех его решений:

а) $(x - 9)(x - 2) > 0$

б) $(x - 8)(x - 19) < 0$

в) $(x + 3)(x - 5) < 0$

г) $(x - 4)(x + 7) > 0$

а) $(x - 9)(x - 2) > 0$

Для решения неравенства применим метод интервалов.

1. Найдём корни левой части, приравняв её к нулю: $(x - 9)(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = 2$.

2. Отметим корни на координатной оси. Поскольку неравенство строгое (знак $> $), точки $2$ и $9$ будут выколотыми, то есть не будут входить в решение. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 9)$ и $(9; \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x - 9)(x - 2)$ в каждом интервале. Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(9; \infty)$, например $x=10$.
$(10 - 9)(10 - 2) = 1 \cdot 8 = 8$, что больше нуля. Значит, в этом интервале ставим знак "+".
Так как все корни имеют кратность 1 (не повторяются), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Таким образом, получаем знаки: +, −, +.

Изобразим это на координатной оси. Нам нужны интервалы со знаком "+", так как по условию выражение должно быть больше нуля.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; 2)$ и $(9; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (9; \infty)$.

б) $(x - 8)(x - 19) < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x - 8)(x - 19) = 0$.
Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = 19$.

2. Отметим выколотые точки $8$ и $19$ на координатной оси, так как неравенство строгое (знак $< $). Точки делят ось на интервалы $(-\infty; 8)$, $(8; 19)$ и $(19; \infty)$.

3. Определим знаки выражения в интервалах. Для $x > 19$ (например, $x=20$): $(20 - 8)(20 - 19) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля (знак "−").

Решением является интервал $(8; 19)$.

Ответ: $x \in (8; 19)$.

в) $(x + 3)(x - 5) < 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x + 3)(x - 5) = 0$.
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

2. Отметим выколотые точки $-3$ и $5$ на координатной оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -3)$, $(-3; 5)$ и $(5; \infty)$.

3. Определим знаки. Для $x > 5$ (например, $x=6$): $(6 + 3)(6 - 5) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нам нужен интервал со знаком "−", так как неравенство $< 0$.

Решением является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $x \in (-3; 5)$.

г) $(x - 4)(x + 7) > 0$

Решаем методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения $(x - 4)(x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

2. Отметим выколотые точки $-7$ и $4$ на координатной оси. Они делят ось на интервалы $(-\infty; -7)$, $(-7; 4)$ и $(4; \infty)$.

3. Определим знаки. Для $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 - 4)(5 + 7) > 0$. Знаки чередуются: +, −, +.

Нам нужны интервалы со знаком "+", так как неравенство $> 0$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -7)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (4; \infty)$.

Решите неравенство (84–89):

84. а) $(2x - 1)(3x + 5) < 0$; б) $(1,2x - 0,5)(7x - 1) < 0$;

в) $(4x + 3)(5x + 2) > 0$; г) $(1\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) > 0$.

а) Чтобы решить неравенство $(2x - 1)(3x + 5) < 0$, воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(3x + 5) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}$
2) $3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3}$
Отметим найденные корни на числовой оси. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми. Корни разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{5}{3})$, $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.
Выражение $(2x - 1)(3x + 5)$ представляет собой квадратичную функцию $y = 6x^2 + 7x - 5$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $2 \cdot 3 = 6 > 0$).
Следовательно, функция принимает отрицательные значения между корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2})$

б) Решим неравенство $(1,2x - 0,5)(7x - 1) < 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(1,2x - 0,5)(7x - 1) = 0$:
1) $1,2x - 0,5 = 0 \Rightarrow 1,2x = 0,5 \Rightarrow x = \frac{0,5}{1,2} = \frac{5}{12}$
2) $7x - 1 = 0 \Rightarrow 7x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$
Сравним корни: $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю $84$:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{12}{84}$
Так как $\frac{12}{84} < \frac{35}{84}$, то $\frac{1}{7} < \frac{5}{12}$.
Коэффициент при $x^2$ в левой части неравенства положителен ($1,2 \cdot 7 = 8,4 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $(\frac{1}{7}, \frac{5}{12})$

в) Решим неравенство $(4x + 3)(5x + 2) > 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения $(4x + 3)(5x + 2) = 0$:
1) $4x + 3 = 0 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x_1 = -\frac{3}{4}$
2) $5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{5}$
Сравним корни: $-\frac{3}{4} = -0,75$ и $-\frac{2}{5} = -0,4$. Таким образом, $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{5}$.
Коэффициент при $x^2$ положителен ($4 \cdot 5 = 20 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется на интервалах вне корней, то есть при значениях $x$, меньших меньшего корня, и при значениях $x$, больших большего корня.
Ответ: $(-\infty, -\frac{3}{4}) \cup (-\frac{2}{5}, +\infty)$

г) Решим неравенство $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) > 0$. Найдем корни уравнения $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{12})(0,7x + 4) = 0$:
1) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}x = -\frac{1}{12} \Rightarrow x = -\frac{1}{12} \cdot 3 = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
2) $0,7x + 4 = 0 \Rightarrow 0,7x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{0,7} = -\frac{40}{7}$
Сравним корни: $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{40}{7}$.
$-\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7}$, а $-\frac{1}{4} = -0,25$.
Очевидно, что $-\frac{40}{7} < -\frac{1}{4}$.
Коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{3} \cdot 0,7 = \frac{7}{30} > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty, -\frac{40}{7}) \cup (-\frac{1}{4}, +\infty)$

85. a) $x^2 - x > 0;$

б) $x^2 + x < 0;$

в) $5x^2 - x < 0;$

г) $3x^2 + x > 0;$

д) $4x^2 + 7x > 0;$

е) $3x - 2x^2 < 0.$

а) Решим неравенство $x^2 - x > 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
Так как это квадратичная функция $y = x^2 - x$, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, функция принимает положительные значения на интервалах вне корней.
Нам нужно найти решения для $x^2 - x > 0$, поэтому выбираем интервалы, где функция положительна.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + x < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Функция принимает отрицательные значения между корнями.
Так как по условию $x^2 + x < 0$, нас интересует интервал, где функция отрицательна.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в) Решим неравенство $5x^2 - x < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x - 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $5x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{5}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{5})$ и $(\frac{1}{5}; +\infty)$.
График функции $y = 5x^2 - x$ — парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$). Следовательно, функция отрицательна между корнями.
Поскольку нам нужно найти, где $5x^2 - x < 0$, мы выбираем интервал между корнями.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{5})$.

г) Решим неравенство $3x^2 + x > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{3})$, $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = 3x^2 + x$ — парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, функция положительна на интервалах вне корней.
Так как нам нужно найти, где $3x^2 + x > 0$, мы выбираем интервалы вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (0; +\infty)$.

д) Решим неравенство $4x^2 + 7x > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 + 7x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(4x + 7) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $4x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{4}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -\frac{7}{4})$, $(-\frac{7}{4}; 0)$ и $(0; +\infty)$.
График функции $y = 4x^2 + 7x$ — парабола с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Следовательно, функция положительна на интервалах вне корней.
Поскольку нам нужно найти, где $4x^2 + 7x > 0$, мы выбираем интервалы вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cup (0; +\infty)$.

е) Решим неравенство $3x - 2x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x - 2x^2 = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3 - 2x) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2}$.
Корни делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; +\infty)$.
График функции $y = 3x - 2x^2$ — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2, что меньше 0). Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервалах вне корней.
Так как нам нужно найти, где $3x - 2x^2 < 0$, мы выбираем интервалы, где функция отрицательна.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

86. а) $x^2 - 4 > 0;$

б) $x^2 - 9 < 0;$

в) $x^2 - 100 < 0;$

г) $1 - x^2 > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 - 4 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4 = 0$.
Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Приравняем множители к нулю: $(x - 2)(x + 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
Неравенство $x^2 - 4 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.
Следовательно, решением являются интервалы $x < -2$ и $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

б) Решим неравенство $x^2 - 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$.
Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх.
Неравенство $x^2 - 9 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола лежит ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < 3$.
Ответ: $x \in (-3; 3)$

в) Решим неравенство $x^2 - 100 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 100 = 0$.
Разложим на множители: $(x - 10)(x + 10) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.
Функция $y = x^2 - 100$ — это парабола, ветви которой направлены вверх.
Мы ищем значения $x$, при которых $y < 0$, то есть когда парабола находится ниже оси Ox. Это интервал между корнями.
Решение неравенства: $-10 < x < 10$.
Ответ: $x \in (-10; 10)$

г) Решим неравенство $1 - x^2 > 0$.
Найдем корни уравнения $1 - x^2 = 0$.
Разложим на множители: $(1 - x)(1 + x) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Рассмотрим функцию $y = 1 - x^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1).
Неравенство $1 - x^2 > 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вниз это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$

87. а) $x^2 - 3 > 0;$

б) $x^2 - 5 < 0;$

в) $2 - x^2 < 0;$

г) $13 - x^2 > 0.$

а)

Для решения неравенства $x^2 - 3 > 0$ используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3 = 0$.

$x^2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $x^2 - 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

б)

Решим неравенство $x^2 - 5 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$.

$x^2 = 5$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ее на три интервала.

График функции $y = x^2 - 5$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2 - 5 < 0$ — это интервал $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{5}; \sqrt{5})$

в)

Решим неравенство $2 - x^2 < 0$. Найдем нули функции $y = 2 - x^2$, решив уравнение $2 - x^2 = 0$.

$x^2 = 2$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

Графиком функции $y = 2 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1). Значит, функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство $2 - x^2 < 0$ выполняется, когда $x$ находится левее $-\sqrt{2}$ или правее $\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

г)

Решим неравенство $13 - x^2 > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $13 - x^2 = 0$.

$x^2 = 13$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{13}$ и $x_2 = \sqrt{13}$.

Функция $y = 13 - x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Эта функция принимает положительные значения на интервале между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $13 - x^2 > 0$ — это интервал $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{13}; \sqrt{13})$