Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (63–68):

63. a) $|x| > 1;$

б) $|x| > 3;$

в) $|x| > -10;$

г) $|x| < 1;$

д) $|x| < 3;$

е) $|x| < -10.$

а) Решим неравенство $|x| > 1$.

По определению модуля, неравенство вида $|x| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $x > a$ или $x < -a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому получаем:

$x > 1$ или $x < -1$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой должно быть больше 1. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся правее 1, и все числа, которые левее -1.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

б) Решим неравенство $|x| > 3$.

Данное неравенство аналогично предыдущему. Оно также распадается на совокупность двух неравенств:

$x > 3$ или $x < -3$.

Это все числа, расстояние от которых до нуля на числовой оси больше 3.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

в) Решим неравенство $|x| > -10$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае -10), неравенство $|x| > -10$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty; \infty)$.

г) Решим неравенство $|x| < 1$.

Неравенство вида $|x| < a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше $a$. Это равносильно двойному неравенству:

$-a < x < a$.

При $a=1$ получаем:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) Решим неравенство $|x| < 3$.

По аналогии с предыдущим пунктом, это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3 < x < 3$.

Это все числа, модуль которых меньше 3.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

е) Решим неравенство $|x| < -10$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Неравенство требует, чтобы неотрицательная величина $|x|$ была меньше отрицательного числа -10, что невозможно ни при каком значении $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

64. a) $|x - 2| > 1;$

б) $|x - 1| > 2;$

в) $|x - 3| > -1;$

г) $|x - 2| < 1;$

д) $|x - 1| < 2;$

е) $|x - 3| < -1.$

а)

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае $|x-2| > 1$ равносильно:

$x-2 > 1$ или $x-2 < -1$.

Решаем первое неравенство:

$x-2 > 1 \implies x > 1+2 \implies x > 3$.

Решаем второе неравенство:

$x-2 < -1 \implies x < -1+2 \implies x < 1$.

Объединяя решения, получаем итоговый интервал.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

б)

Неравенство $|x-1| > 2$ также равносильно совокупности двух неравенств:

$x-1 > 2$ или $x-1 < -2$.

Решаем первое неравенство:

$x-1 > 2 \implies x > 2+1 \implies x > 3$.

Решаем второе неравенство:

$x-1 < -2 \implies x < -2+1 \implies x < -1$.

Решением является объединение полученных интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)$.

в)

Рассмотрим неравенство $|x-3| > -1$.

По определению, модуль любого действительного выражения является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$ для любого значения $x$.

Так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, то неравенство $|x-3| > -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

г)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a>0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

В данном случае $|x-2| < 1$ равносильно:

$-1 < x-2 < 1$.

Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-1+2 < x-2+2 < 1+2$

$1 < x < 3$.

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

д)

Неравенство $|x-1| < 2$ равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-1 < 2$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-2+1 < x-1+1 < 2+1$

$-1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

е)

Рассмотрим неравенство $|x-3| < -1$.

Модуль любого действительного выражения $|x-3|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$.

Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

65. а) $|x + 2| > 3$;

б) $|x + 1| > 4$;

в) $|x + 5| > -5$;

г) $|x + 2| < 3$;

д) $|x + 1| < 4$;

е) $|x + 5| < -5$.

а) Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В данном случае неравенство $|x + 2| > 3$ распадается на два случая:
1) $x + 2 > 3$
$x > 3 - 2$
$x > 1$
2) $x + 2 < -3$
$x < -3 - 2$
$x < -5$
Решением является объединение этих двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

б) Данное неравенство $|x + 1| > 4$ также решается с помощью перехода к совокупности двух неравенств:
1) $x + 1 > 4$
$x > 4 - 1$
$x > 3$
2) $x + 1 < -4$
$x < -4 - 1$
$x < -5$
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$.

в) Модуль любого числа или выражения $|x + 5|$ по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$.
Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае $-5$), неравенство $|x + 5| > -5$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.
Таким образом, неравенство $|x + 2| < 3$ можно переписать в виде:
$-3 < x + 2 < 3$
Чтобы найти $x$, вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:
$-3 - 2 < x < 3 - 2$
$-5 < x < 1$
Решение представляет собой интервал от $-5$ до $1$.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.

д) По аналогии с предыдущим пунктом, неравенство $|x + 1| < 4$ равносильно двойному неравенству:
$-4 < x + 1 < 4$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-4 - 1 < x < 4 - 1$
$-5 < x < 3$
Решением является интервал от $-5$ до $3$.
Ответ: $x \in (-5; 3)$.

е) Модуль любого выражения $|x + 5|$ всегда является неотрицательным числом, то есть $|x + 5| \ge 0$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-5$, что невозможно.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

66. а) $|2x - 3| > 1;$

б) $|2x + 1| > 3;$

в) $|3x - 5| > 1;$

г) $|2x - 3| < 1;$

д) $|2x + 1| < 3;$

е) $|3x - 5| < 1.$

а)

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Для неравенства $|2x - 3| > 1$ получаем совокупность:

$2x - 3 > 1$ или $2x - 3 < -1$.

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $2x - 3 > 1$

$2x > 1 + 3$

$2x > 4$

$x > 2$

2) $2x - 3 < -1$

$2x < -1 + 3$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением является объединение полученных интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$

б)

Неравенство $|2x + 1| > 3$ равносильно совокупности:

$2x + 1 > 3$ или $2x + 1 < -3$.

Решим каждое неравенство.

1) $2x + 1 > 3$

$2x > 3 - 1$

$2x > 2$

$x > 1$

2) $2x + 1 < -3$

$2x < -3 - 1$

$2x < -4$

$x < -2$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$

в)

Неравенство $|3x - 5| > 1$ равносильно совокупности:

$3x - 5 > 1$ или $3x - 5 < -1$.

Решим каждое неравенство.

1) $3x - 5 > 1$

$3x > 1 + 5$

$3x > 6$

$x > 2$

2) $3x - 5 < -1$

$3x < -1 + 5$

$3x < 4$

$x < \frac{4}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}) \cup (2; \infty)$

г)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Для неравенства $|2x - 3| < 1$ получаем:

$-1 < 2x - 3 < 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 < 2x < 1 + 3$

$2 < 2x < 4$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{2}{2} < x < \frac{4}{2}$

$1 < x < 2$

Решение в виде интервала: $x \in (1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$

д)

Неравенство $|2x + 1| < 3$ равносильно двойному неравенству:

$-3 < 2x + 1 < 3$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 2x < 3 - 1$

$-4 < 2x < 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-4}{2} < x < \frac{2}{2}$

$-2 < x < 1$

Решение в виде интервала: $x \in (-2; 1)$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$

е)

Неравенство $|3x - 5| < 1$ равносильно двойному неравенству:

$-1 < 3x - 5 < 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 5 < 3x < 1 + 5$

$4 < 3x < 6$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{4}{3} < x < \frac{6}{3}$

$\frac{4}{3} < x < 2$

Решение в виде интервала: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$

67. a) $|2|x|-3| > 5;$

в) $|2|x|-3| < 5;$

б) $|2|x|-5| > 3;$

г) $|2|x|-5| < 3.$

а) Решим неравенство $|2|x| - 3| > 5$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В нашем случае это означает, что:

$2|x| - 3 > 5$ или $2|x| - 3 < -5$.

1. Решим первое неравенство:

$2|x| > 5 + 3$

$2|x| > 8$

$|x| > 4$

Это неравенство выполняется при $x > 4$ или $x < -4$. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$2|x| < -5 + 3$

$2|x| < -2$

$|x| < -1$

Это неравенство не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $|2|x| - 5| > 3$.

Это неравенство также равносильно совокупности двух неравенств:

$2|x| - 5 > 3$ или $2|x| - 5 < -3$.

1. Решим первое неравенство:

$2|x| > 3 + 5$

$2|x| > 8$

$|x| > 4$

Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$2|x| < -3 + 5$

$2|x| < 2$

$|x| < 1$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Решение: $x \in (-1, 1)$.

Общее решение является объединением решений, полученных в обоих случаях.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 1) \cup (4, +\infty)$.

в) Решим неравенство $|2|x| - 3| < 5$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применим это правило:

$-5 < 2|x| - 3 < 5$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 < 2|x| < 5 + 3$

$-2 < 2|x| < 8$

Разделим все части на 2:

$-1 < |x| < 4$

Это двойное неравенство состоит из системы двух неравенств: $|x| > -1$ и $|x| < 4$.

Неравенство $|x| > -1$ верно для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен.

Неравенство $|x| < 4$ равносильно $-4 < x < 4$.

Пересечение решений этих двух неравенств дает итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

г) Решим неравенство $|2|x| - 5| < 3$.

Используем правило для неравенств вида $|f(x)| < a$:

$-3 < 2|x| - 5 < 3$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 < 2|x| < 3 + 5$

$2 < 2|x| < 8$

Разделим все части на 2:

$1 < |x| < 4$

Это двойное неравенство означает, что $|x|$ должен быть больше 1 и одновременно меньше 4. Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} |x| > 1 \\ |x| < 4 \end{cases}$

Решением первого неравенства $|x| > 1$ является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Решением второго неравенства $|x| < 4$ является $x \in (-4, 4)$.

Найдем пересечение этих двух множеств. На числовой оси это соответствует интервалам от -4 до -1 и от 1 до 4.

Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$.

68. a) $|x - 3| > x + 1;$

в) $|x - 3| < x + 1;$

б) $|x + 3| > 2x + 4;$

г) $|x + 3| < 2x + 4.$

а)

Для решения неравенства $|x-3| > x+1$ воспользуемся правилом, что неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности:

$x-3 > x+1$ или $x-3 < -(x+1)$.

1. Решим первое неравенство:

$x-3 > x+1$

Перенесем $x$ в левую часть, а числа в правую:

$x - x > 1 + 3$

$0 > 4$

Это неравенство является ложным, следовательно, оно не имеет решений.

2. Решим второе неравенство:

$x-3 < -(x+1)$

$x-3 < -x-1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую:

$x + x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением совокупности является объединение решений каждого неравенства. Так как первое неравенство не имеет решений, итоговым решением будет решение второго неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б)

Решим неравенство $|x+3| > 2x+4$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x+3 > 2x+4$ или $x+3 < -(2x+4)$.

1. Решим первое неравенство:

$x+3 > 2x+4$

$3 - 4 > 2x - x$

$-1 > x$, или $x < -1$.

2. Решим второе неравенство:

$x+3 < -(2x+4)$

$x+3 < -2x-4$

$x + 2x < -4 - 3$

$3x < -7$

$x < -7/3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $x < -1$ и $x < -7/3$.

Поскольку $-7/3 \approx -2.33$, то $-7/3 < -1$. Это означает, что интервал $(-\infty; -7/3)$ является подмножеством интервала $(-\infty; -1)$. Объединением этих двух интервалов будет больший из них.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

в)

Для решения неравенства $|x-3| < x+1$ воспользуемся правилом, что неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$-(x+1) < x-3 < x+1$

Эту систему можно разбить на два неравенства, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x-3 < x+1 \\ x-3 > -(x+1) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$x-3 < x+1$

$-3 < 1$

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

2. Решим второе неравенство системы:

$x-3 > -(x+1)$

$x-3 > -x-1$

$2x > 2$

$x > 1$

Решением системы является пересечение множества всех действительных чисел (решение первого неравенства) и интервала $(1; +\infty)$ (решение второго неравенства). Пересечением будет интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $|x+3| < 2x+4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-(2x+4) < x+3 < 2x+4$

Запишем его в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} x+3 < 2x+4 \\ x+3 > -(2x+4) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$x+3 < 2x+4$

$-1 < x$, или $x > -1$.

2. Решим второе неравенство:

$x+3 > -2x-4$

$3x > -7$

$x > -7/3$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > -1$ и $x > -7/3$.

Так как $-1 > -7/3$ (поскольку $-7/3 \approx -2.33$), то пересечением этих двух условий будет $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

69. Исследуем. При каких значениях $a$ неравенство:

а) $|2x - a| < x + 1$ не имеет решений;

б) $|3x - a| > 3 - 3x$ имеет множество решений $(1; +\infty)$?

а)

Рассмотрим неравенство $|2x - a| < x + 1$. Для того чтобы это неравенство имело решения, правая часть должна быть строго положительной, так как модуль в левой части всегда неотрицателен. То есть, должно выполняться условие $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$. Если $x + 1 \le 0$, то есть $x \le -1$, неравенство решений не имеет, так как неотрицательное число не может быть меньше неположительного.

При условии $x + 1 > 0$, неравенство с модулем $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств: $ \begin{cases} 2x - a < x + 1 \\ 2x - a > -(x + 1) \end{cases} $

Решим эту систему:
1) $2x - a < x + 1 \implies 2x - x < a + 1 \implies x < a + 1$.
2) $2x - a > -x - 1 \implies 2x + x > a - 1 \implies 3x > a - 1 \implies x > \frac{a-1}{3}$.

Таким образом, решение неравенства (при условии $x > -1$) есть пересечение интервалов: $x \in (\frac{a-1}{3}, a+1)$.

Неравенство не имеет решений, если полученный интервал решений пуст. Интервал $(\frac{a-1}{3}, a+1)$ является пустым множеством, если его нижняя граница больше или равна верхней границе:
$\frac{a-1}{3} \ge a+1$
$a-1 \ge 3(a+1)$
$a-1 \ge 3a + 3$
$-1 - 3 \ge 3a - a$
$-4 \ge 2a$
$a \le -2$

При $a \le -2$ интервал решений $(\frac{a-1}{3}, a+1)$ пуст, следовательно, исходное неравенство не имеет решений. Также можно заметить, что если $a \le -2$, то верхняя граница интервала $a+1 \le -1$. Это означает, что все "потенциальные" решения $x$ должны быть меньше или равны $-1$. Но мы уже установили, что решения могут существовать только при $x > -1$. Пересечение множеств $(-\infty, a+1]$ и $(-1, +\infty)$ при $a+1 \le -1$ пусто. Это подтверждает, что при $a \le -2$ решений нет.

Ответ: $a \in (-\infty; -2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $|3x - a| > 3 - 3x$. Проанализируем правую часть неравенства $3 - 3x$.

Случай 1: $3 - 3x < 0$
Это условие выполняется при $3 < 3x$, то есть $x > 1$. В этом случае правая часть неравенства отрицательна. Левая часть $|3x-a|$ всегда неотрицательна. Неотрицательное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство $|3x-a| > 3 - 3x$ выполняется для всех $x > 1$ при любом значении параметра $a$. Таким образом, множество $(1; +\infty)$ всегда является частью множества решений данного неравенства.

Случай 2: $3 - 3x \ge 0$
Это условие выполняется при $3 \ge 3x$, то есть $x \le 1$. По условию задачи, множество решений должно быть в точности $(1; +\infty)$. Это означает, что при $x \le 1$ неравенство $|3x - a| > 3 - 3x$ не должно иметь решений. Это равносильно тому, что для всех $x \le 1$ должно выполняться противоположное неравенство: $|3x - a| \le 3 - 3x$.

Поскольку при $x \le 1$ обе части этого неравенства неотрицательны, оно равносильно системе:
$-(3 - 3x) \le 3x - a \le 3 - 3x$

Разобьем на два неравенства:
1) $3x - a \le 3 - 3x \implies 6x \le a + 3 \implies x \le \frac{a+3}{6}$.
2) $-(3 - 3x) \le 3x - a \implies -3 + 3x \le 3x - a \implies -3 \le -a \implies a \le 3$.

Для того чтобы неравенство $|3x - a| \le 3 - 3x$ выполнялось для всех $x \le 1$, должны выполняться оба условия для всех $x \le 1$.
Условие $a \le 3$ не зависит от $x$.
Условие $x \le \frac{a+3}{6}$ должно быть истинным для всех $x \le 1$. Это означает, что интервал $(-\infty; 1]$ должен быть подмножеством интервала $(-\infty; \frac{a+3}{6}]$. Это возможно только если $1 \le \frac{a+3}{6}$.

Решим полученное неравенство для $a$:
$1 \le \frac{a+3}{6}$
$6 \le a+3$
$a \ge 3$

Итак, мы получили два условия на параметр $a$: $a \le 3$ и $a \ge 3$. Единственное значение $a$, удовлетворяющее обоим условиям одновременно, — это $a = 3$. При $a=3$ неравенство для $x \le 1$ не имеет решений, а для $x>1$ решения есть. Значит, итоговое множество решений будет $(1; +\infty)$.

Ответ: $a = 3$.