Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

50. a) $$\begin{cases} x < 7, \\ x < 2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x < -1, \\ x < 3; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x < -5, \\ x < 0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x < -10, \\ x < -16. \end{cases}$$

а) Для решения системы неравенств $\begin{cases} x < 7 \\ x < 2 \end{cases}$ необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Первое неравенство $x < 7$ задает интервал $(-\infty; 7)$. Второе неравенство $x < 2$ задает интервал $(-\infty; 2)$. Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Поскольку любое число, которое меньше 2, также будет меньше 7, то общее решение соответствует более строгому неравенству. Таким образом, решением системы является $x < 2$.
Ответ: $x < 2$.

б) В системе $\begin{cases} x < -1 \\ x < 3 \end{cases}$ ищутся значения $x$, которые одновременно меньше -1 и меньше 3. Решение первого неравенства, $x < -1$, есть интервал $(-\infty; -1)$. Решение второго неравенства, $x < 3$, есть интервал $(-\infty; 3)$. Пересечением этих двух интервалов является множество чисел, удовлетворяющих более строгому условию. Так как $-1 < 3$, то любое число, меньшее -1, также будет меньше 3. Следовательно, решение системы — это $x < -1$.
Ответ: $x < -1$.

в) Рассмотрим систему $\begin{cases} x < -5 \\ x < 0 \end{cases}$. Решение системы — это пересечение множеств решений каждого неравенства. Неравенство $x < -5$ соответствует интервалу $(-\infty; -5)$, а неравенство $x < 0$ — интервалу $(-\infty; 0)$. Чтобы найти общее решение, нужно выбрать более строгий интервал. Так как $-5 < 0$, то множество чисел, меньших -5, является подмножеством множества чисел, меньших 0. Поэтому решением системы является $x < -5$.
Ответ: $x < -5$.

г) Для системы $\begin{cases} x < -10 \\ x < -16 \end{cases}$ требуется найти такие значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Решением неравенства $x < -10$ является интервал $(-\infty; -10)$. Решением неравенства $x < -16$ является интервал $(-\infty; -16)$. Пересечением этих двух интервалов будет тот, что соответствует более строгому неравенству. Поскольку $-16 < -10$, любое число, которое меньше -16, автоматически будет меньше -10. Таким образом, решение системы — $x < -16$.
Ответ: $x < -16$.

51. а) $ \begin{cases} x > 1, \\ x < -1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x < -5, \\ x > -7; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x > 4, \\ x < 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x < 0, \\ x > -5. \end{cases} $

а)

Дана система неравенств: $\begin{cases} x > 1 \\ x < -1 \end{cases}$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство, $x > 1$, задает множество всех чисел, которые находятся на числовой оси правее точки 1. Второе неравенство, $x < -1$, задает множество всех чисел, которые находятся левее точки -1.

Не существует числа, которое одновременно было бы больше 1 и меньше -1. Таким образом, пересечение этих двух множеств пусто.

Ответ: нет решений ($x \in \emptyset$).

б)

Дана система неравенств: $\begin{cases} x < -5 \\ x > -7 \end{cases}$

Мы ищем числа $x$, которые одновременно меньше -5 и больше -7. Данную систему можно записать в виде двойного неравенства: $-7 < x < -5$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x < -5$ — это интервал $(-\infty; -5)$. Множество решений второго неравенства $x > -7$ — это интервал $(-7; +\infty)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-7; -5)$.

Ответ: $x \in (-7; -5)$.

в)

Дана система неравенств: $\begin{cases} x > 4 \\ x < 4 \end{cases}$

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно строго больше 4 и строго меньше 4. Не существует такого числа, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно. Множество решений первого неравенства — интервал $(4; +\infty)$, а второго — $(-\infty; 4)$. Эти множества не имеют общих точек.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений ($x \in \emptyset$).

г)

Дана система неравенств: $\begin{cases} x < 0 \\ x > -5 \end{cases}$

Мы ищем числа $x$, которые одновременно меньше 0 и больше -5. Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $-5 < x < 0$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x < 0$ — это интервал $(-\infty; 0)$. Множество решений второго неравенства $x > -5$ — это интервал $(-5; +\infty)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-5; 0)$.

Ответ: $x \in (-5; 0)$.

52. Запишите какую-либо систему неравенств, все решения которой образуют интервал, отмеченный на рисунке 9 двойной штриховкой.

a) $\begin{cases} x > -5 \\ x < 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > -4 \\ x < 1 \end{cases}$

Рис. 9

а)

На рисунке а) область, являющаяся решением системы, представляет собой интервал от -5 до 4. Точки -5 и 4 отмечены как выколотые, что соответствует строгим неравенствам. Следовательно, искомое множество решений — это интервал $(-5, 4)$.

Чтобы решением системы был интервал, переменная $x$ должна удовлетворять двум условиям одновременно: быть больше левой границы и меньше правой.
Первое условие: $x$ должен быть больше -5, что записывается как неравенство $x > -5$.
Второе условие: $x$ должен быть меньше 4, что записывается как неравенство $x < 4$.

Объединив эти два неравенства в систему, мы получим систему, решением которой является указанный интервал.

Ответ: $\begin{cases} x > -5 \\ x < 4 \end{cases}$

б)

Решением системы является интервал, отмеченный на рисунке двойной (перекрестной) штриховкой. Это область, начинающаяся от точки 3 и идущая вправо (в сторону увеличения $x$). Точка 3 является выколотой, поэтому неравенство строгое. Таким образом, решение системы — это интервал $(3, +\infty)$, или $x > 3$.

На рисунке также присутствует область с одинарной штриховкой от 0 до 3. Это подсказка для составления системы. Общая заштрихованная область (и одинарная, и двойная) начинается от 0, что соответствует неравенству $x > 0$. Двойная штриховка появляется только правее 3, что соответствует второму неравенству $x > 3$.

Составим систему из этих двух неравенств. Решением системы будет пересечение множеств решений каждого из неравенств:
Решение для $x > 0$: интервал $(0, +\infty)$.
Решение для $x > 3$: интервал $(3, +\infty)$.
Пересечение $(0, +\infty) \cap (3, +\infty)$ дает искомый интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $\begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$

в)

Интервал, отмеченный двойной штриховкой, является решением системы. На рисунке в) это интервал между точками -4 и 1. Обе точки выколоты, что означает, что они не входят в решение, и неравенства должны быть строгими. Следовательно, искомое решение — это интервал $(-4, 1)$.

Как и в пункте а), данный интервал можно получить как пересечение решений двух неравенств.
Вся заштрихованная область на рисунке (и одинарная, и двойная) начинается от -4 и идет вправо, что можно описать неравенством $x > -4$.
Двойная штриховка обрывается на точке 1. Это означает, что второе неравенство ограничивает решения сверху: $x < 1$.

Система из этих двух неравенств будет иметь своим решением пересечение интервалов $(-4, +\infty)$ и $(-\infty, 1)$, что в точности соответствует интервалу $(-4, 1)$, отмеченному двойной штриховкой.

Ответ: $\begin{cases} x > -4 \\ x < 1 \end{cases}$

53. Для неравенства $2x < 1$ подберите другое неравенство так, чтобы система этих неравенств:

а) не имела решений;

б) имела множеством всех решений интервал $(-\infty; 0,5)$.

Сначала решим исходное неравенство $2x < 1$. Для этого разделим обе его части на 2, не меняя знака неравенства. В результате получим $x < \frac{1}{2}$ или, в виде десятичной дроби, $x < 0,5$. Множеством решений этого неравенства является числовой интервал $(-\infty; 0,5)$.

а) не имела решений;

Чтобы система, состоящая из неравенства $2x < 1$ и искомого второго неравенства, не имела решений, множества их решений не должны пересекаться. Поскольку решением первого неравенства является интервал $(-\infty; 0,5)$, второе неравенство должно быть верным для тех значений $x$, которые не входят в этот интервал. То есть, для $x \ge 0,5$.

В качестве такого неравенства можно выбрать любое, решением которого будет множество, не имеющее общих точек с $(-\infty; 0,5)$. Например, возьмем неравенство $x \ge 1$. Его решением является числовой промежуток $[1; +\infty)$.

Рассмотрим систему, состоящую из неравенств $2x < 1$ и $x \ge 1$. Она эквивалентна системе из условий $x < 0,5$ и $x \ge 1$. Множества решений $(-\infty; 0,5)$ и $[1; +\infty)$ не имеют общих точек, их пересечение пусто ($\emptyset$). Следовательно, такая система не имеет решений.

Ответ: например, $x \ge 1$.

б) имела множеством всех решений интервал (–∞; 0,5).

Чтобы решением системы было множество $(-\infty; 0,5)$, которое является решением исходного неравенства $2x < 1$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства при пересечении с интервалом $(-\infty; 0,5)$ давало этот же интервал.

Это возможно только в том случае, если множество решений второго неравенства полностью содержит в себе интервал $(-\infty; 0,5)$.

В качестве такого неравенства можно выбрать любое, решением которого будет множество, включающее $(-\infty; 0,5)$. Например, неравенство $x < 1$. Его решением является интервал $(-\infty; 1)$.

Рассмотрим систему из неравенств $2x < 1$ и $x < 1$. Она эквивалентна системе из условий $x < 0,5$ и $x < 1$. Числа, удовлетворяющие обоим этим условиям одновременно, — это числа, которые меньше 0,5. Таким образом, решением системы является интервал $(-\infty; 0,5)$, что и требовалось в условии.

Ответ: например, $x < 1$.

Решите систему неравенств (54—55):

54. а) $\begin{cases} 3 > x, \\ x < 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x > 1, \\ -7 < x + 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6x > 6, \\ 1 > 3 - 2x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6 - 2x > 5, \\ 3 - 2x > 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x - 4 > 0, \\ 2x - 8 > 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5x + 3 < 8, \\ 7 - 3x > 2; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x - 1 > 3x + 1, \\ 5x - 1 > 13; \end{cases}$

з) $\begin{cases} 7x < x - 6, \\ 2 > 5 + 3x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3 > x, \\ x < 4. \end{cases} $
Первое неравенство $3 > x$ эквивалентно неравенству $x < 3$.
Второе неравенство: $x < 4$.
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше 3 и меньше 4. Если число меньше 3, то оно автоматически меньше 4. Следовательно, решением системы является пересечение этих двух условий, то есть $x < 3$.
Ответ: $(-\infty; 3)$

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x > 1, \\ -7 < x + 5. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $4x > 1 \implies x > \frac{1}{4}$
2) $-7 < x + 5 \implies -7 - 5 < x \implies -12 < x$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно больше $\frac{1}{4}$ и больше -12. Если число больше $\frac{1}{4}$, то оно автоматически больше -12. Таким образом, решением системы является $x > \frac{1}{4}$.
Ответ: $(\frac{1}{4}; +\infty)$

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6x > 6, \\ 1 > 3 - 2x. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $6x > 6 \implies x > 1$
2) $1 > 3 - 2x \implies 2x > 3 - 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6 - 2x > 5, \\ 3 - 2x > 1. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $6 - 2x > 5 \implies -2x > 5 - 6 \implies -2x > -1 \implies x < \frac{1}{2}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
2) $3 - 2x > 1 \implies -2x > 1 - 3 \implies -2x > -2 \implies x < 1$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше $\frac{1}{2}$ и меньше 1. Если число меньше $\frac{1}{2}$, то оно автоматически меньше 1. Следовательно, решением системы является $x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{2})$

д) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 4 > 0, \\ 2x - 8 > 0. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x - 4 > 0 \implies x > 4$
2) $2x - 8 > 0 \implies 2x > 8 \implies x > 4$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x > 4$.
Ответ: $(4; +\infty)$

е) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x + 3 < 8, \\ 7 - 3x > 2. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $5x + 3 < 8 \implies 5x < 8 - 3 \implies 5x < 5 \implies x < 1$
2) $7 - 3x > 2 \implies -3x > 2 - 7 \implies -3x > -5 \implies x < \frac{5}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше 1 и меньше $\frac{5}{3}$. Так как $1 < \frac{5}{3}$ (потому что $1 = \frac{3}{3}$), то любое число, которое меньше 1, будет автоматически меньше $\frac{5}{3}$. Решением системы является $x < 1$.
Ответ: $(-\infty; 1)$

ж) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 3x + 1, \\ 5x - 1 > 13. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2x - 1 > 3x + 1 \implies 2x - 3x > 1 + 1 \implies -x > 2 \implies x < -2$
2) $5x - 1 > 13 \implies 5x > 13 + 1 \implies 5x > 14 \implies x > \frac{14}{5}$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше -2 и больше $\frac{14}{5}$ (или 2.8). Не существует таких чисел, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений ($\emptyset$)

з) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 7x < x - 6, \\ 2 > 5 + 3x. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $7x < x - 6 \implies 7x - x < -6 \implies 6x < -6 \implies x < -1$
2) $2 > 5 + 3x \implies 2 - 5 > 3x \implies -3 > 3x \implies -1 > x$ или $x < -1$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x < -1$.
Ответ: $(-\infty; -1)$

55. a) $$\begin{cases}2x + 7 > 3 - x, \\\frac{1}{3}x - 1 > 2x - \frac{1}{4};\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{2}{3}x > 8, \\\frac{3}{4}x - 1 > \frac{3}{5}x - 1;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}\frac{x - 1}{2} < 1, \\4 - x > \frac{x - 5}{3};\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} > \frac{3 - x}{2}, \\\frac{x}{7} - 1 < \frac{2 - 8x}{4}.\end{cases}$$

a) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x+7 > 3-x, \\ \frac{1}{3}x-1 > 2x-\frac{1}{4}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2x+7 > 3-x$

$2x+x > 3-7$

$3x > -4$

$x > -\frac{4}{3}$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$\frac{1}{3}x-1 > 2x-\frac{1}{4}$

$12 \cdot (\frac{1}{3}x-1) > 12 \cdot (2x-\frac{1}{4})$

$4x-12 > 24x-3$

$4x-24x > -3+12$

$-20x > 9$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{9}{20}$

3. Найдем пересечение решений $x > -\frac{4}{3}$ и $x < -\frac{9}{20}$.

Так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$ и $-\frac{9}{20} = -0.45$, то $-\frac{4}{3} < -\frac{9}{20}$.

Решением системы является интервал, где оба неравенства верны: $(-\frac{4}{3}; -\frac{9}{20})$.

Ответ: $(-\frac{4}{3}; -\frac{9}{20})$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2}{3}x > 8, \\ \frac{3}{4}x-1 > \frac{3}{5}x-1; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2}{3}x > 8$

$x > 8 \cdot \frac{3}{2}$

$x > 12$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3}{4}x-1 > \frac{3}{5}x-1$

$\frac{3}{4}x > \frac{3}{5}x$

$\frac{3}{4}x - \frac{3}{5}x > 0$

$(\frac{15}{20} - \frac{12}{20})x > 0$

$\frac{3}{20}x > 0$

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений $x > 12$ и $x > 0$.

Общим решением для обоих неравенств является $x > 12$.

Ответ: $(12; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{2} < 1, \\ 4-x > \frac{x-5}{3}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x-1}{2} < 1$

$x-1 < 2$

$x < 3$

2. Решим второе неравенство:

$4-x > \frac{x-5}{3}$

$3(4-x) > x-5$

$12-3x > x-5$

$-3x-x > -5-12$

$-4x > -17$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{17}{4}$

$x < 4.25$

3. Найдем пересечение решений $x < 3$ и $x < 4.25$.

Общим решением является $x < 3$.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{3} > \frac{3-x}{2}, \\ \frac{x}{7}-1 < \frac{2-8x}{4}; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x+1}{3} > \frac{3-x}{2}$

$2(2x+1) > 3(3-x)$

$4x+2 > 9-3x$

$4x+3x > 9-2$

$7x > 7$

$x > 1$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{7}-1 < \frac{2-8x}{4}$

Умножим обе части на 28:

$28(\frac{x}{7}-1) < 28(\frac{2-8x}{4})$

$4x-28 < 7(2-8x)$

$4x-28 < 14-56x$

$4x+56x < 14+28$

$60x < 42$

$x < \frac{42}{60}$

$x < \frac{7}{10}$

3. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x < \frac{7}{10}$.

Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше 1 и меньше $\frac{7}{10}$ (т.е. 0.7).

Пересечение множеств решений пустое.

Ответ: нет решений.

56. a) Найдите все x, для каждого из которых значение функции $y = 2x - 3$ больше значения функции $y = -x + 4$.

б) Найдите все x, для каждого из которых значение функции $y = 1 - x$ больше значения функции $y = 0,5x + 5$.

а) Чтобы найти все значения $x$, для которых значение функции $y = 2x - 3$ больше значения функции $y = -x + 4$, необходимо решить следующее неравенство:

$2x - 3 > -x + 4$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный.

$2x + x > 4 + 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$3x > 7$

Разделим обе части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{7}{3}$

Ответ: $x > \frac{7}{3}$.

б) Чтобы найти все значения $x$, для которых значение функции $y = 1 - x$ больше значения функции $y = 0,5x + 5$, необходимо решить неравенство:

$1 - x > 0,5x + 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую часть, чтобы получить положительный коэффициент при $x$.

$1 - 5 > 0,5x + x$

Приведем подобные слагаемые:

$-4 > 1,5x$

Разделим обе части неравенства на 1,5. Поскольку 1,5 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$\frac{-4}{1,5} > x$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби $1,5 = \frac{3}{2}$.

$\frac{-4}{\frac{3}{2}} > x$

$-4 \cdot \frac{2}{3} > x$

$-\frac{8}{3} > x$

Запишем полученное решение в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части и развернув знак неравенства.

$x < -\frac{8}{3}$

Ответ: $x < -\frac{8}{3}$.

57. a) Найдите все x, для каждого из которых функции $y = 3x$ и $y = 1 + x$ одновременно принимают отрицательные значения.

б) Найдите все x, для каждого из которых функции $y = 0,4x + 1$ и $y = -2x + 3$ одновременно принимают положительные значения.

в) Найдите все значения x, для каждого из которых значение функции $y = 0,25x - 0,5$ меньше значений функций $y = x$ и $y = -2x + 3$.

г) Найдите все значения x, для каждого из которых значение функции $y = x + 4$ больше значений функций $y = -x$ и $y = 2x + 3$.

а) Чтобы функции $y = 3x$ и $y = 1 + x$ одновременно принимали отрицательные значения, необходимо, чтобы выполнялась система неравенств:

$\begin{cases} 3x < 0 \\ 1 + x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$3x < 0$
$x < 0$

Решим второе неравенство:
$1 + x < 0$
$x < -1$

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, нужно найти пересечение их решений: $x < 0$ и $x < -1$. Пересечением этих двух множеств является интервал $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) Чтобы функции $y = 0,4x + 1$ и $y = -2x + 3$ одновременно принимали положительные значения, необходимо, чтобы выполнялась система неравенств:

$\begin{cases} 0,4x + 1 > 0 \\ -2x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0,4x > -1$
$x > -\frac{1}{0,4}$
$x > -2,5$

Решим второе неравенство:
$-2x > -3$
$2x < 3$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)
$x < \frac{3}{2}$
$x < 1,5$

Теперь найдем пересечение решений $x > -2,5$ и $x < 1,5$. Это интервал от $-2,5$ до $1,5$.

Ответ: $x \in (-2,5; 1,5)$.

в) Чтобы значение функции $y = 0,25x - 0,5$ было меньше значений функций $y = x$ и $y = -2x + 3$, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:

$\begin{cases} 0,25x - 0,5 < x \\ 0,25x - 0,5 < -2x + 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0,25x - x < 0,5$
$-0,75x < 0,5$
$x > \frac{0,5}{-0,75}$ (знак неравенства меняется)
$x > -\frac{50}{75}$
$x > -\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:
$0,25x + 2x < 3 + 0,5$
$2,25x < 3,5$
$x < \frac{3,5}{2,25}$
$x < \frac{350}{225}$
$x < \frac{14}{9}$

Найдем пересечение решений $x > -\frac{2}{3}$ и $x < \frac{14}{9}$. Это интервал от $-\frac{2}{3}$ до $\frac{14}{9}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; \frac{14}{9})$.

г) Чтобы значение функции $y = x + 4$ было больше значений функций $y = -x$ и $y = 2x + 3$, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:

$\begin{cases} x + 4 > -x \\ x + 4 > 2x + 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$x + x > -4$
$2x > -4$
$x > -2$

Решим второе неравенство:
$4 - 3 > 2x - x$
$1 > x$
$x < 1$

Найдем пересечение решений $x > -2$ и $x < 1$. Это интервал от $-2$ до $1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.