Номер 54, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему неравенств (54—55):

54. а) $\begin{cases} 3 > x, \\ x < 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x > 1, \\ -7 < x + 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6x > 6, \\ 1 > 3 - 2x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6 - 2x > 5, \\ 3 - 2x > 1; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x - 4 > 0, \\ 2x - 8 > 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5x + 3 < 8, \\ 7 - 3x > 2; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 2x - 1 > 3x + 1, \\ 5x - 1 > 13; \end{cases}$

з) $\begin{cases} 7x < x - 6, \\ 2 > 5 + 3x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3 > x, \\ x < 4. \end{cases} $
Первое неравенство $3 > x$ эквивалентно неравенству $x < 3$.
Второе неравенство: $x < 4$.
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше 3 и меньше 4. Если число меньше 3, то оно автоматически меньше 4. Следовательно, решением системы является пересечение этих двух условий, то есть $x < 3$.
Ответ: $(-\infty; 3)$

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x > 1, \\ -7 < x + 5. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $4x > 1 \implies x > \frac{1}{4}$
2) $-7 < x + 5 \implies -7 - 5 < x \implies -12 < x$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно больше $\frac{1}{4}$ и больше -12. Если число больше $\frac{1}{4}$, то оно автоматически больше -12. Таким образом, решением системы является $x > \frac{1}{4}$.
Ответ: $(\frac{1}{4}; +\infty)$

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6x > 6, \\ 1 > 3 - 2x. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $6x > 6 \implies x > 1$
2) $1 > 3 - 2x \implies 2x > 3 - 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 6 - 2x > 5, \\ 3 - 2x > 1. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $6 - 2x > 5 \implies -2x > 5 - 6 \implies -2x > -1 \implies x < \frac{1}{2}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
2) $3 - 2x > 1 \implies -2x > 1 - 3 \implies -2x > -2 \implies x < 1$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше $\frac{1}{2}$ и меньше 1. Если число меньше $\frac{1}{2}$, то оно автоматически меньше 1. Следовательно, решением системы является $x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{2})$

д) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 4 > 0, \\ 2x - 8 > 0. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x - 4 > 0 \implies x > 4$
2) $2x - 8 > 0 \implies 2x > 8 \implies x > 4$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x > 4$.
Ответ: $(4; +\infty)$

е) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x + 3 < 8, \\ 7 - 3x > 2. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $5x + 3 < 8 \implies 5x < 8 - 3 \implies 5x < 5 \implies x < 1$
2) $7 - 3x > 2 \implies -3x > 2 - 7 \implies -3x > -5 \implies x < \frac{5}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше 1 и меньше $\frac{5}{3}$. Так как $1 < \frac{5}{3}$ (потому что $1 = \frac{3}{3}$), то любое число, которое меньше 1, будет автоматически меньше $\frac{5}{3}$. Решением системы является $x < 1$.
Ответ: $(-\infty; 1)$

ж) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 3x + 1, \\ 5x - 1 > 13. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2x - 1 > 3x + 1 \implies 2x - 3x > 1 + 1 \implies -x > 2 \implies x < -2$
2) $5x - 1 > 13 \implies 5x > 13 + 1 \implies 5x > 14 \implies x > \frac{14}{5}$
Мы ищем значения $x$, которые одновременно меньше -2 и больше $\frac{14}{5}$ (или 2.8). Не существует таких чисел, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений ($\emptyset$)

з) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 7x < x - 6, \\ 2 > 5 + 3x. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $7x < x - 6 \implies 7x - x < -6 \implies 6x < -6 \implies x < -1$
2) $2 > 5 + 3x \implies 2 - 5 > 3x \implies -3 > 3x \implies -1 > x$ или $x < -1$
Оба неравенства сводятся к одному и тому же условию $x < -1$.
Ответ: $(-\infty; -1)$