Номер 60, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

60. Решите систему неравенств, используя графики линейных функций:

a) $\begin{cases} 3x < 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases};$

б) $\begin{cases} -5x < 0, \\ 3 - x < 0 \end{cases};$

в) $\begin{cases} 4x + 2 > 0, \\ x + 1 < 0 \end{cases}.$

а) Для решения системы неравенств $ \begin{cases} 3x < 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $ графическим методом, рассмотрим две линейные функции: $y_1 = 3x$ и $y_2 = x + 2$.

Первое неравенство, $3x < 0$, означает, что мы ищем значения $x$, для которых график функции $y_1 = 3x$ находится ниже оси абсцисс (Ox). График функции $y_1 = 3x$ – это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и, например, точку (1,3). Эта прямая пересекает ось Ox в точке $x=0$ и находится ниже оси для всех $x < 0$.

Второе неравенство, $x + 2 > 0$, означает, что мы ищем значения $x$, для которых график функции $y_2 = x + 2$ находится выше оси абсцисс. График функции $y_2 = x + 2$ – это прямая, проходящая через точки (-2,0) и (0,2). Эта прямая пересекает ось Ox в точке $x=-2$ и находится выше оси для всех $x > -2$.

Решением системы является пересечение (общая часть) найденных промежутков: $x < 0$ и $x > -2$. Это интервал от -2 до 0, не включая концы.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.

б) Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} -5x < 0 \\ 3 - x < 0 \end{cases} $. Для ее решения используем графики линейных функций $y_1 = -5x$ и $y_2 = 3 - x$.

Неравенство $-5x < 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y_1 = -5x$ расположен ниже оси Ox. График $y_1 = -5x$ – это прямая, проходящая через начало координат (0,0) и точку (1,-5). Прямая пересекает ось Ox в точке $x=0$ и находится ниже оси при $x > 0$.

Неравенство $3 - x < 0$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y_2 = 3 - x$ также расположен ниже оси Ox. График $y_2 = 3 - x$ – это прямая, проходящая через точки (3,0) и (0,3). Прямая пересекает ось Ox в точке $x=3$ и находится ниже оси при $x > 3$.

Решением системы является пересечение промежутков, где выполняются оба неравенства: $x > 0$ и $x > 3$. Общей частью этих двух промежутков является $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 4x + 2 > 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases} $ с помощью графиков функций $y_1 = 4x + 2$ и $y_2 = x + 1$.

Для первого неравенства, $4x + 2 > 0$, мы ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = 4x + 2$ лежит выше оси Ox. График $y_1 = 4x + 2$ – это прямая, пересекающая оси в точках $(-0.5, 0)$ и $(0, 2)$. График лежит выше оси Ox при $x > -0.5$.

Для второго неравенства, $x + 1 < 0$, мы ищем значения $x$, при которых график функции $y_2 = x + 1$ лежит ниже оси Ox. График $y_2 = x + 1$ – это прямая, пересекающая оси в точках $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. График лежит ниже оси Ox при $x < -1$.

Решение системы – это пересечение полученных множеств: $x > -0.5$ и $x < -1$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше $-0.5$ и меньше $-1$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.

Ответ: решений нет.