Номер 57, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

57. a) Найдите все x, для каждого из которых функции $y = 3x$ и $y = 1 + x$ одновременно принимают отрицательные значения.

б) Найдите все x, для каждого из которых функции $y = 0,4x + 1$ и $y = -2x + 3$ одновременно принимают положительные значения.

в) Найдите все значения x, для каждого из которых значение функции $y = 0,25x - 0,5$ меньше значений функций $y = x$ и $y = -2x + 3$.

г) Найдите все значения x, для каждого из которых значение функции $y = x + 4$ больше значений функций $y = -x$ и $y = 2x + 3$.

а) Чтобы функции $y = 3x$ и $y = 1 + x$ одновременно принимали отрицательные значения, необходимо, чтобы выполнялась система неравенств:

$\begin{cases} 3x < 0 \\ 1 + x < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$3x < 0$
$x < 0$

Решим второе неравенство:
$1 + x < 0$
$x < -1$

Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, нужно найти пересечение их решений: $x < 0$ и $x < -1$. Пересечением этих двух множеств является интервал $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) Чтобы функции $y = 0,4x + 1$ и $y = -2x + 3$ одновременно принимали положительные значения, необходимо, чтобы выполнялась система неравенств:

$\begin{cases} 0,4x + 1 > 0 \\ -2x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0,4x > -1$
$x > -\frac{1}{0,4}$
$x > -2,5$

Решим второе неравенство:
$-2x > -3$
$2x < 3$ (при умножении на -1 знак неравенства меняется)
$x < \frac{3}{2}$
$x < 1,5$

Теперь найдем пересечение решений $x > -2,5$ и $x < 1,5$. Это интервал от $-2,5$ до $1,5$.

Ответ: $x \in (-2,5; 1,5)$.

в) Чтобы значение функции $y = 0,25x - 0,5$ было меньше значений функций $y = x$ и $y = -2x + 3$, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:

$\begin{cases} 0,25x - 0,5 < x \\ 0,25x - 0,5 < -2x + 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$0,25x - x < 0,5$
$-0,75x < 0,5$
$x > \frac{0,5}{-0,75}$ (знак неравенства меняется)
$x > -\frac{50}{75}$
$x > -\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:
$0,25x + 2x < 3 + 0,5$
$2,25x < 3,5$
$x < \frac{3,5}{2,25}$
$x < \frac{350}{225}$
$x < \frac{14}{9}$

Найдем пересечение решений $x > -\frac{2}{3}$ и $x < \frac{14}{9}$. Это интервал от $-\frac{2}{3}$ до $\frac{14}{9}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; \frac{14}{9})$.

г) Чтобы значение функции $y = x + 4$ было больше значений функций $y = -x$ и $y = 2x + 3$, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства:

$\begin{cases} x + 4 > -x \\ x + 4 > 2x + 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$x + x > -4$
$2x > -4$
$x > -2$

Решим второе неравенство:
$4 - 3 > 2x - x$
$1 > x$
$x < 1$

Найдем пересечение решений $x > -2$ и $x < 1$. Это интервал от $-2$ до $1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.