Номер 61, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

61. Решите двойное неравенство двумя способами:

a) $0 < 3x < 2$;

б) $-1 < \frac{2}{7}x < 8$;

в) $1 < x + 4 < 2$;

г) $-7 < x - 6 < -2$;

д) $0 < 3x - 7 < 3$;

е) $-8 < 0.5x + 1 < -4$.

Рис. 10

а) $0 < 3x < 2$

Способ 1: Алгебраический
Данное двойное неравенство можно решить, выполнив одинаковые операции со всеми тремя его частями. Чтобы выделить $x$ в средней части, разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.
$\frac{0}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{2}{3}$
$0 < x < \frac{2}{3}$
Решением является интервал $(0; \frac{2}{3})$.

Способ 2: Графический
Решение неравенства $0 < 3x < 2$ соответствует нахождению таких значений $x$, при которых график функции $y_1 = 3x$ лежит выше графика функции $y_2 = 0$ (ось Ox) и ниже графика функции $y_3 = 2$.
Построим в одной системе координат три графика:
1. $y_1 = 3x$ (прямая, проходящая через начало координат).
2. $y_2 = 0$ (ось абсцисс).
3. $y_3 = 2$ (горизонтальная прямая).
Найдем абсциссы точек пересечения графика $y_1 = 3x$ с прямыми $y_2=0$ и $y_3=2$:
$3x = 0 \implies x = 0$
$3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$
Из графика видно, что прямая $y_1 = 3x$ находится между прямыми $y_2=0$ и $y_3=2$ на интервале $x$ от $0$ до $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{2}{3})$

б) $-1 < \frac{2}{7}x < 8$

Способ 1: Алгебраический
Чтобы выделить $x$, умножим все три части неравенства на $\frac{7}{2}$. Так как $\frac{7}{2} > 0$, знаки неравенства сохраняются.
$-1 \cdot \frac{7}{2} < \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2} < 8 \cdot \frac{7}{2}$
$-\frac{7}{2} < x < 28$
$-3.5 < x < 28$
Решением является интервал $(-3.5; 28)$.

Способ 2: Графический
Рассмотрим три функции: $y_1 = \frac{2}{7}x$, $y_2 = -1$ и $y_3 = 8$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график $y_1$ находится между графиками $y_2$ и $y_3$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$\frac{2}{7}x = -1 \implies x = -\frac{7}{2} = -3.5$
$\frac{2}{7}x = 8 \implies x = 8 \cdot \frac{7}{2} = 28$
Следовательно, график функции $y_1 = \frac{2}{7}x$ расположен между горизонтальными прямыми $y=-1$ и $y=8$ при $x \in (-3.5; 28)$.

Ответ: $x \in (-3.5; 28)$

в) $1 < x + 4 < 2$

Способ 1: Алгебраический
Вычтем 4 из каждой части неравенства, чтобы выделить $x$ в середине.
$1 - 4 < x + 4 - 4 < 2 - 4$
$-3 < x < -2$
Решением является интервал $(-3; -2)$.

Способ 2: Графический
Задача сводится к нахождению значений $x$, при которых график функции $y_1 = x+4$ находится между горизонтальными прямыми $y_2=1$ и $y_3=2$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$x + 4 = 1 \implies x = -3$
$x + 4 = 2 \implies x = -2$
График функции $y_1=x+4$ находится между прямыми $y=1$ и $y=2$ на интервале $x$ от $-3$ до $-2$.

Ответ: $x \in (-3; -2)$

г) $-7 < x - 6 < -2$

Способ 1: Алгебраический
Прибавим 6 к каждой части неравенства.
$-7 + 6 < x - 6 + 6 < -2 + 6$
$-1 < x < 4$
Решением является интервал $(-1; 4)$.

Способ 2: Графический
Ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = x-6$ лежит между прямыми $y_2=-7$ и $y_3=-2$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$x - 6 = -7 \implies x = -1$
$x - 6 = -2 \implies x = 4$
График $y_1=x-6$ находится между прямыми $y=-7$ и $y=-2$ при $x$ от $-1$ до $4$.

Ответ: $x \in (-1; 4)$

д) $0 < 3x - 7 < 3$

Способ 1: Алгебраический
Сначала прибавим 7 ко всем частям неравенства.
$0 + 7 < 3x - 7 + 7 < 3 + 7$
$7 < 3x < 10$
Затем разделим все части на 3.
$\frac{7}{3} < x < \frac{10}{3}$
$2\frac{1}{3} < x < 3\frac{1}{3}$
Решением является интервал $(\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$.

Способ 2: Графический
Нужно найти значения $x$, при которых график функции $y_1 = 3x-7$ находится между прямыми $y_2=0$ (ось Ox) и $y_3=3$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$
$3x - 7 = 3 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}$
График функции $y_1 = 3x-7$ находится между прямыми $y=0$ и $y=3$ при $x \in (\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{3}; \frac{10}{3})$

е) $-8 < 0.5x + 1 < -4$

Способ 1: Алгебраический
Сначала вычтем 1 из всех частей неравенства.
$-8 - 1 < 0.5x + 1 - 1 < -4 - 1$
$-9 < 0.5x < -5$
Теперь умножим все части на 2.
$-9 \cdot 2 < 0.5x \cdot 2 < -5 \cdot 2$
$-18 < x < -10$
Решением является интервал $(-18; -10)$.

Способ 2: Графический
Ищем значения $x$, при которых график функции $y_1 = 0.5x+1$ лежит между прямыми $y_2=-8$ и $y_3=-4$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
$0.5x + 1 = -8 \implies 0.5x = -9 \implies x = -18$
$0.5x + 1 = -4 \implies 0.5x = -5 \implies x = -10$
График $y_1 = 0.5x+1$ находится между прямыми $y=-8$ и $y=-4$ при $x$ от $-18$ до $-10$.

Ответ: $x \in (-18; -10)$