Номер 67, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

67. a) $|2|x|-3| > 5;$

в) $|2|x|-3| < 5;$

б) $|2|x|-5| > 3;$

г) $|2|x|-5| < 3.$

а) Решим неравенство $|2|x| - 3| > 5$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В нашем случае это означает, что:

$2|x| - 3 > 5$ или $2|x| - 3 < -5$.

1. Решим первое неравенство:

$2|x| > 5 + 3$

$2|x| > 8$

$|x| > 4$

Это неравенство выполняется при $x > 4$ или $x < -4$. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$2|x| < -5 + 3$

$2|x| < -2$

$|x| < -1$

Это неравенство не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $|2|x| - 5| > 3$.

Это неравенство также равносильно совокупности двух неравенств:

$2|x| - 5 > 3$ или $2|x| - 5 < -3$.

1. Решим первое неравенство:

$2|x| > 3 + 5$

$2|x| > 8$

$|x| > 4$

Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$2|x| < -3 + 5$

$2|x| < 2$

$|x| < 1$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Решение: $x \in (-1, 1)$.

Общее решение является объединением решений, полученных в обоих случаях.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 1) \cup (4, +\infty)$.

в) Решим неравенство $|2|x| - 3| < 5$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применим это правило:

$-5 < 2|x| - 3 < 5$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 < 2|x| < 5 + 3$

$-2 < 2|x| < 8$

Разделим все части на 2:

$-1 < |x| < 4$

Это двойное неравенство состоит из системы двух неравенств: $|x| > -1$ и $|x| < 4$.

Неравенство $|x| > -1$ верно для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен.

Неравенство $|x| < 4$ равносильно $-4 < x < 4$.

Пересечение решений этих двух неравенств дает итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-4, 4)$.

г) Решим неравенство $|2|x| - 5| < 3$.

Используем правило для неравенств вида $|f(x)| < a$:

$-3 < 2|x| - 5 < 3$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 < 2|x| < 3 + 5$

$2 < 2|x| < 8$

Разделим все части на 2:

$1 < |x| < 4$

Это двойное неравенство означает, что $|x|$ должен быть больше 1 и одновременно меньше 4. Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} |x| > 1 \\ |x| < 4 \end{cases}$

Решением первого неравенства $|x| > 1$ является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Решением второго неравенства $|x| < 4$ является $x \in (-4, 4)$.

Найдем пересечение этих двух множеств. На числовой оси это соответствует интервалам от -4 до -1 и от 1 до 4.

Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$.