Номер 65, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

65. а) $|x + 2| > 3$;

б) $|x + 1| > 4$;

в) $|x + 5| > -5$;

г) $|x + 2| < 3$;

д) $|x + 1| < 4$;

е) $|x + 5| < -5$.

а) Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В данном случае неравенство $|x + 2| > 3$ распадается на два случая:
1) $x + 2 > 3$
$x > 3 - 2$
$x > 1$
2) $x + 2 < -3$
$x < -3 - 2$
$x < -5$
Решением является объединение этих двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

б) Данное неравенство $|x + 1| > 4$ также решается с помощью перехода к совокупности двух неравенств:
1) $x + 1 > 4$
$x > 4 - 1$
$x > 3$
2) $x + 1 < -4$
$x < -4 - 1$
$x < -5$
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)$.

в) Модуль любого числа или выражения $|x + 5|$ по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$.
Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае $-5$), неравенство $|x + 5| > -5$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.
Таким образом, неравенство $|x + 2| < 3$ можно переписать в виде:
$-3 < x + 2 < 3$
Чтобы найти $x$, вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:
$-3 - 2 < x < 3 - 2$
$-5 < x < 1$
Решение представляет собой интервал от $-5$ до $1$.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.

д) По аналогии с предыдущим пунктом, неравенство $|x + 1| < 4$ равносильно двойному неравенству:
$-4 < x + 1 < 4$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-4 - 1 < x < 4 - 1$
$-5 < x < 3$
Решением является интервал от $-5$ до $3$.
Ответ: $x \in (-5; 3)$.

е) Модуль любого выражения $|x + 5|$ всегда является неотрицательным числом, то есть $|x + 5| \ge 0$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа $-5$, что невозможно.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).