Номер 66, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

66. а) $|2x - 3| > 1;$

б) $|2x + 1| > 3;$

в) $|3x - 5| > 1;$

г) $|2x - 3| < 1;$

д) $|2x + 1| < 3;$

е) $|3x - 5| < 1.$

а)

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Для неравенства $|2x - 3| > 1$ получаем совокупность:

$2x - 3 > 1$ или $2x - 3 < -1$.

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $2x - 3 > 1$

$2x > 1 + 3$

$2x > 4$

$x > 2$

2) $2x - 3 < -1$

$2x < -1 + 3$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением является объединение полученных интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; \infty)$

б)

Неравенство $|2x + 1| > 3$ равносильно совокупности:

$2x + 1 > 3$ или $2x + 1 < -3$.

Решим каждое неравенство.

1) $2x + 1 > 3$

$2x > 3 - 1$

$2x > 2$

$x > 1$

2) $2x + 1 < -3$

$2x < -3 - 1$

$2x < -4$

$x < -2$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$

в)

Неравенство $|3x - 5| > 1$ равносильно совокупности:

$3x - 5 > 1$ или $3x - 5 < -1$.

Решим каждое неравенство.

1) $3x - 5 > 1$

$3x > 1 + 5$

$3x > 6$

$x > 2$

2) $3x - 5 < -1$

$3x < -1 + 5$

$3x < 4$

$x < \frac{4}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}) \cup (2; \infty)$

г)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Для неравенства $|2x - 3| < 1$ получаем:

$-1 < 2x - 3 < 1$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-1 + 3 < 2x < 1 + 3$

$2 < 2x < 4$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{2}{2} < x < \frac{4}{2}$

$1 < x < 2$

Решение в виде интервала: $x \in (1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$

д)

Неравенство $|2x + 1| < 3$ равносильно двойному неравенству:

$-3 < 2x + 1 < 3$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < 2x < 3 - 1$

$-4 < 2x < 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{-4}{2} < x < \frac{2}{2}$

$-2 < x < 1$

Решение в виде интервала: $x \in (-2; 1)$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$

е)

Неравенство $|3x - 5| < 1$ равносильно двойному неравенству:

$-1 < 3x - 5 < 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-1 + 5 < 3x < 1 + 5$

$4 < 3x < 6$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{4}{3} < x < \frac{6}{3}$

$\frac{4}{3} < x < 2$

Решение в виде интервала: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$