Номер 64, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

64. a) $|x - 2| > 1;$

б) $|x - 1| > 2;$

в) $|x - 3| > -1;$

г) $|x - 2| < 1;$

д) $|x - 1| < 2;$

е) $|x - 3| < -1.$

а)

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае $|x-2| > 1$ равносильно:

$x-2 > 1$ или $x-2 < -1$.

Решаем первое неравенство:

$x-2 > 1 \implies x > 1+2 \implies x > 3$.

Решаем второе неравенство:

$x-2 < -1 \implies x < -1+2 \implies x < 1$.

Объединяя решения, получаем итоговый интервал.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

б)

Неравенство $|x-1| > 2$ также равносильно совокупности двух неравенств:

$x-1 > 2$ или $x-1 < -2$.

Решаем первое неравенство:

$x-1 > 2 \implies x > 2+1 \implies x > 3$.

Решаем второе неравенство:

$x-1 < -2 \implies x < -2+1 \implies x < -1$.

Решением является объединение полученных интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)$.

в)

Рассмотрим неравенство $|x-3| > -1$.

По определению, модуль любого действительного выражения является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$ для любого значения $x$.

Так как любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, то неравенство $|x-3| > -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

г)

Неравенство вида $|f(x)| < a$, где $a>0$, равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

В данном случае $|x-2| < 1$ равносильно:

$-1 < x-2 < 1$.

Прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-1+2 < x-2+2 < 1+2$

$1 < x < 3$.

Решением является интервал.

Ответ: $x \in (1; 3)$.

д)

Неравенство $|x-1| < 2$ равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-1 < 2$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-2+1 < x-1+1 < 2+1$

$-1 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.

е)

Рассмотрим неравенство $|x-3| < -1$.

Модуль любого действительного выражения $|x-3|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x-3| \ge 0$.

Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).