Номер 70, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

70. а) Какой вид имеет неравенство второй степени с одним неизвестным $x$?

б) Что называют дискриминантом неравенства второй степени $ax^2 + bx + c > 0 (a \neq 0)$?

в) Что называют решением неравенства с одним неизвестным $x$?

г) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

д) Что значит, что два неравенства равносильны?

е) Сформулируйте утверждения о равносильности неравенств.

а) Неравенством второй степени с одним неизвестным x называют неравенство, которое можно привести к одному из следующих видов: $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$, где x — переменная, а a, b и c — некоторые числа (коэффициенты), причем коэффициент при старшей степени a не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Ответ: Неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$, где $a \neq 0$.

б) Дискриминантом неравенства второй степени, например $ax^2 + bx + c > 0$, называют дискриминант соответствующего квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Эта величина играет ключевую роль при решении неравенства, так как ее знак определяет наличие и количество действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, что, в свою очередь, определяет, как расположена парабола $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси абсцисс. Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Ответ: Дискриминантом неравенства второй степени $ax^2 + bx + c > 0$ ($a \neq 0$) называют дискриминант $D$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$, вычисляемый по формуле $D = b^2 - 4ac$.

в) Решением неравенства с одним неизвестным x называется такое значение переменной x, при подстановке которого в исходное неравенство оно превращается в верное числовое неравенство. Например, для неравенства $x^2 > 9$, число $x = 4$ является решением, так как $4^2 > 9$ (то есть $16 > 9$) — верное утверждение. А число $x = 2$ не является решением, так как $2^2 > 9$ (то есть $4 > 9$) — неверное утверждение.

Ответ: Решением неравенства с одним неизвестным называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

г) Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все его решения (то есть все значения переменной, которые ему удовлетворяют) или доказать, что таких решений не существует. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений. Обычно это множество представляет собой числовой промежуток, объединение нескольких промежутков или пустое множество.

Ответ: Решить неравенство — значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет.

д) Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые множества решений. Если множество не указано, то подразумевается равносильность на множестве всех действительных чисел. Другими словами, любое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными (их общее множество решений — пустое множество).

Ответ: Два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают.

е) Равносильность неравенств описывается следующими основными утверждениями (или свойствами), которые позволяют заменять одно неравенство другим, более простым, но равносильным ему:

Утверждение 1. Если из одной части неравенства перенести в другую какой-либо член с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.

Утверждение 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на выражение, принимающее только положительные значения), сохранив при этом знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Утверждение 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на выражение, принимающее только отрицательные значения), изменив при этом знак неравенства на противоположный (например, $>$ на <, $\leq$ на $\geq$), то получится неравенство, равносильное исходному.

Ответ: Основные утверждения о равносильности неравенств:
1. Перенос слагаемых из одной части в другую с изменением их знака на противоположный.
2. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение) с сохранением знака неравенства.
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение) с изменением знака неравенства на противоположный.