Номер 63, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (63–68):

63. a) $|x| > 1;$

б) $|x| > 3;$

в) $|x| > -10;$

г) $|x| < 1;$

д) $|x| < 3;$

е) $|x| < -10.$

а) Решим неравенство $|x| > 1$.

По определению модуля, неравенство вида $|x| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $x > a$ или $x < -a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому получаем:

$x > 1$ или $x < -1$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой должно быть больше 1. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся правее 1, и все числа, которые левее -1.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

б) Решим неравенство $|x| > 3$.

Данное неравенство аналогично предыдущему. Оно также распадается на совокупность двух неравенств:

$x > 3$ или $x < -3$.

Это все числа, расстояние от которых до нуля на числовой оси больше 3.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

в) Решим неравенство $|x| > -10$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$.

Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае -10), неравенство $|x| > -10$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty; \infty)$.

г) Решим неравенство $|x| < 1$.

Неравенство вида $|x| < a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше $a$. Это равносильно двойному неравенству:

$-a < x < a$.

При $a=1$ получаем:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

д) Решим неравенство $|x| < 3$.

По аналогии с предыдущим пунктом, это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3 < x < 3$.

Это все числа, модуль которых меньше 3.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

е) Решим неравенство $|x| < -10$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Неравенство требует, чтобы неотрицательная величина $|x|$ была меньше отрицательного числа -10, что невозможно ни при каком значении $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).