Номер 69, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

69. Исследуем. При каких значениях $a$ неравенство:

а) $|2x - a| < x + 1$ не имеет решений;

б) $|3x - a| > 3 - 3x$ имеет множество решений $(1; +\infty)$?

а)

Рассмотрим неравенство $|2x - a| < x + 1$. Для того чтобы это неравенство имело решения, правая часть должна быть строго положительной, так как модуль в левой части всегда неотрицателен. То есть, должно выполняться условие $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$. Если $x + 1 \le 0$, то есть $x \le -1$, неравенство решений не имеет, так как неотрицательное число не может быть меньше неположительного.

При условии $x + 1 > 0$, неравенство с модулем $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств: $ \begin{cases} 2x - a < x + 1 \\ 2x - a > -(x + 1) \end{cases} $

Решим эту систему:
1) $2x - a < x + 1 \implies 2x - x < a + 1 \implies x < a + 1$.
2) $2x - a > -x - 1 \implies 2x + x > a - 1 \implies 3x > a - 1 \implies x > \frac{a-1}{3}$.

Таким образом, решение неравенства (при условии $x > -1$) есть пересечение интервалов: $x \in (\frac{a-1}{3}, a+1)$.

Неравенство не имеет решений, если полученный интервал решений пуст. Интервал $(\frac{a-1}{3}, a+1)$ является пустым множеством, если его нижняя граница больше или равна верхней границе:
$\frac{a-1}{3} \ge a+1$
$a-1 \ge 3(a+1)$
$a-1 \ge 3a + 3$
$-1 - 3 \ge 3a - a$
$-4 \ge 2a$
$a \le -2$

При $a \le -2$ интервал решений $(\frac{a-1}{3}, a+1)$ пуст, следовательно, исходное неравенство не имеет решений. Также можно заметить, что если $a \le -2$, то верхняя граница интервала $a+1 \le -1$. Это означает, что все "потенциальные" решения $x$ должны быть меньше или равны $-1$. Но мы уже установили, что решения могут существовать только при $x > -1$. Пересечение множеств $(-\infty, a+1]$ и $(-1, +\infty)$ при $a+1 \le -1$ пусто. Это подтверждает, что при $a \le -2$ решений нет.

Ответ: $a \in (-\infty; -2]$.

б)

Рассмотрим неравенство $|3x - a| > 3 - 3x$. Проанализируем правую часть неравенства $3 - 3x$.

Случай 1: $3 - 3x < 0$
Это условие выполняется при $3 < 3x$, то есть $x > 1$. В этом случае правая часть неравенства отрицательна. Левая часть $|3x-a|$ всегда неотрицательна. Неотрицательное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство $|3x-a| > 3 - 3x$ выполняется для всех $x > 1$ при любом значении параметра $a$. Таким образом, множество $(1; +\infty)$ всегда является частью множества решений данного неравенства.

Случай 2: $3 - 3x \ge 0$
Это условие выполняется при $3 \ge 3x$, то есть $x \le 1$. По условию задачи, множество решений должно быть в точности $(1; +\infty)$. Это означает, что при $x \le 1$ неравенство $|3x - a| > 3 - 3x$ не должно иметь решений. Это равносильно тому, что для всех $x \le 1$ должно выполняться противоположное неравенство: $|3x - a| \le 3 - 3x$.

Поскольку при $x \le 1$ обе части этого неравенства неотрицательны, оно равносильно системе:
$-(3 - 3x) \le 3x - a \le 3 - 3x$

Разобьем на два неравенства:
1) $3x - a \le 3 - 3x \implies 6x \le a + 3 \implies x \le \frac{a+3}{6}$.
2) $-(3 - 3x) \le 3x - a \implies -3 + 3x \le 3x - a \implies -3 \le -a \implies a \le 3$.

Для того чтобы неравенство $|3x - a| \le 3 - 3x$ выполнялось для всех $x \le 1$, должны выполняться оба условия для всех $x \le 1$.
Условие $a \le 3$ не зависит от $x$.
Условие $x \le \frac{a+3}{6}$ должно быть истинным для всех $x \le 1$. Это означает, что интервал $(-\infty; 1]$ должен быть подмножеством интервала $(-\infty; \frac{a+3}{6}]$. Это возможно только если $1 \le \frac{a+3}{6}$.

Решим полученное неравенство для $a$:
$1 \le \frac{a+3}{6}$
$6 \le a+3$
$a \ge 3$

Итак, мы получили два условия на параметр $a$: $a \le 3$ и $a \ge 3$. Единственное значение $a$, удовлетворяющее обоим условиям одновременно, — это $a = 3$. При $a=3$ неравенство для $x \le 1$ не имеет решений, а для $x>1$ решения есть. Значит, итоговое множество решений будет $(1; +\infty)$.

Ответ: $a = 3$.