Номер 68, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

68. a) $|x - 3| > x + 1;$

в) $|x - 3| < x + 1;$

б) $|x + 3| > 2x + 4;$

г) $|x + 3| < 2x + 4.$

а)

Для решения неравенства $|x-3| > x+1$ воспользуемся правилом, что неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности:

$x-3 > x+1$ или $x-3 < -(x+1)$.

1. Решим первое неравенство:

$x-3 > x+1$

Перенесем $x$ в левую часть, а числа в правую:

$x - x > 1 + 3$

$0 > 4$

Это неравенство является ложным, следовательно, оно не имеет решений.

2. Решим второе неравенство:

$x-3 < -(x+1)$

$x-3 < -x-1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую:

$x + x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением совокупности является объединение решений каждого неравенства. Так как первое неравенство не имеет решений, итоговым решением будет решение второго неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б)

Решим неравенство $|x+3| > 2x+4$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x+3 > 2x+4$ или $x+3 < -(2x+4)$.

1. Решим первое неравенство:

$x+3 > 2x+4$

$3 - 4 > 2x - x$

$-1 > x$, или $x < -1$.

2. Решим второе неравенство:

$x+3 < -(2x+4)$

$x+3 < -2x-4$

$x + 2x < -4 - 3$

$3x < -7$

$x < -7/3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $x < -1$ и $x < -7/3$.

Поскольку $-7/3 \approx -2.33$, то $-7/3 < -1$. Это означает, что интервал $(-\infty; -7/3)$ является подмножеством интервала $(-\infty; -1)$. Объединением этих двух интервалов будет больший из них.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

в)

Для решения неравенства $|x-3| < x+1$ воспользуемся правилом, что неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$-(x+1) < x-3 < x+1$

Эту систему можно разбить на два неравенства, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} x-3 < x+1 \\ x-3 > -(x+1) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$x-3 < x+1$

$-3 < 1$

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

2. Решим второе неравенство системы:

$x-3 > -(x+1)$

$x-3 > -x-1$

$2x > 2$

$x > 1$

Решением системы является пересечение множества всех действительных чисел (решение первого неравенства) и интервала $(1; +\infty)$ (решение второго неравенства). Пересечением будет интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $|x+3| < 2x+4$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-(2x+4) < x+3 < 2x+4$

Запишем его в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} x+3 < 2x+4 \\ x+3 > -(2x+4) \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$x+3 < 2x+4$

$-1 < x$, или $x > -1$.

2. Решим второе неравенство:

$x+3 > -2x-4$

$3x > -7$

$x > -7/3$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > -1$ и $x > -7/3$.

Так как $-1 > -7/3$ (поскольку $-7/3 \approx -2.33$), то пересечением этих двух условий будет $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.