Номер 71, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

71. Является ли неравенство:

а) $3 - 2x > 0;$

б) $7x - 3 < 1 + 7x;$

в) $x^2 - 5x + 1 < 0;$

г) $7x - \frac{x}{3} > 0;$

д) $4x - 5x^2 > 0;$

е) $3x^2 + 7 < 0$

неравенством первой степени? линейным неравенством? неравенством второй степени?

Для определения типа неравенства необходимо определить старшую степень входящей в него переменной после приведения всех подобных членов.

Неравенство первой степени (или линейное неравенство) — это неравенство, которое можно свести к виду $ax + b > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$. Старшая степень переменной в таком неравенстве равна 1.

Неравенство второй степени (или квадратное неравенство) — это неравенство, которое можно свести к виду $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$. Старшая степень переменной в таком неравенстве равна 2.

а) $3 - 2x > 0$

Данное неравенство содержит переменную $x$ в первой степени. Его можно записать в виде $-2x + 3 > 0$, что соответствует стандартному виду линейного неравенства $ax + b > 0$ при $a=-2$ и $b=3$. Так как $a \neq 0$, это неравенство первой степени и, соответственно, линейное неравенство.

Ответ: неравенство первой степени, линейное неравенство.

б) $7x - 3 < 1 + 7x$

Перенесем все члены, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$7x - 7x < 1 + 3$

$0 \cdot x < 4$

После упрощения переменная $x$ исчезает, так как коэффициент при ней становится равным нулю. В результате получается верное числовое неравенство $0 < 4$. Такое неравенство не является ни неравенством первой степени, ни неравенством второй степени.

Ответ: не является ни неравенством первой степени, ни линейным неравенством, ни неравенством второй степени.

в) $x^2 - 5x + 1 < 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Неравенство представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c < 0$, где $a=1, b=-5, c=1$. Так как коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), это неравенство является неравенством второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.

г) $7x - \frac{x}{3} > 0$

Упростим левую часть неравенства, приведя подобные слагаемые:

$(\frac{21}{3} - \frac{1}{3})x > 0$

$\frac{20}{3}x > 0$

В полученном неравенстве переменная $x$ находится в первой степени. Оно соответствует виду $ax > 0$, где $a = \frac{20}{3} \neq 0$. Следовательно, это неравенство первой степени и линейное неравенство.

Ответ: неравенство первой степени, линейное неравенство.

д) $4x - 5x^2 > 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Запишем его в стандартном виде: $-5x^2 + 4x > 0$. Это соответствует виду $ax^2 + bx + c > 0$, где $a=-5, b=4, c=0$. Так как $a \neq 0$, это неравенство второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.

е) $3x^2 + 7 < 0$

Старшая степень переменной $x$ в этом неравенстве равна 2. Неравенство представлено в виде $ax^2 + bx + c < 0$, где $a=3, b=0, c=7$. Так как коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), это неравенство является неравенством второй степени.

Ответ: неравенство второй степени.