Номер 77, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

77. Напишите неравенство с коэффициентом 1 при $x^2$, равносильное неравенству:

а) $-\frac{1}{2}x^2+3x-5 > 0;$

б) $\frac{1}{3}x^2-8x+3 < 0;$

в) $\frac{1}{5}x^2-5x+7 > 0;$

г) $-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-1 < 0.$

а) Чтобы получить равносильное неравенство с коэффициентом 1 при $x^2$, необходимо умножить обе части исходного неравенства $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 > 0$ на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный (с $ > $ на $ < $).

$(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5) \cdot (-2) < 0 \cdot (-2)$

$(-\frac{1}{2}) \cdot (-2)x^2 + 3 \cdot (-2)x - 5 \cdot (-2) < 0$

$x^2 - 6x + 10 < 0$

Ответ: $x^2 - 6x + 10 < 0$

б) В неравенстве $\frac{1}{3}x^2 - 8x + 3 < 0$ коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{3}$. Чтобы сделать его равным 1, умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не изменится, так как мы умножаем на положительное число.

$(\frac{1}{3}x^2 - 8x + 3) \cdot 3 < 0 \cdot 3$

$\frac{1}{3} \cdot 3 x^2 - 8 \cdot 3 x + 3 \cdot 3 < 0$

$x^2 - 24x + 9 < 0$

Ответ: $x^2 - 24x + 9 < 0$

в) В неравенстве $\frac{1}{5}x^2 - 5x + 7 > 0$ коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{5}$. Умножим обе части неравенства на 5 (положительное число), чтобы коэффициент при $x^2$ стал равен 1. Знак неравенства при этом не меняется.

$(\frac{1}{5}x^2 - 5x + 7) \cdot 5 > 0 \cdot 5$

$\frac{1}{5} \cdot 5 x^2 - 5 \cdot 5 x + 7 \cdot 5 > 0$

$x^2 - 25x + 35 > 0$

Ответ: $x^2 - 25x + 35 > 0$

г) Исходное неравенство: $-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 < 0$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4}$. Для того чтобы получить коэффициент 1, умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ < $ на $ > $).

$(-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 1) \cdot (-4) > 0 \cdot (-4)$

$(-\frac{1}{4}) \cdot (-4) x^2 + \frac{1}{2} \cdot (-4) x - 1 \cdot (-4) > 0$

$x^2 - 2x + 4 > 0$

Ответ: $x^2 - 2x + 4 > 0$