Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

77. Напишите неравенство с коэффициентом 1 при $x^2$, равносильное неравенству:

а) $-\frac{1}{2}x^2+3x-5 > 0;$

б) $\frac{1}{3}x^2-8x+3 < 0;$

в) $\frac{1}{5}x^2-5x+7 > 0;$

г) $-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-1 < 0.$

а) Чтобы получить равносильное неравенство с коэффициентом 1 при $x^2$, необходимо умножить обе части исходного неравенства $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 > 0$ на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный (с $ > $ на $ < $).

$(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5) \cdot (-2) < 0 \cdot (-2)$

$(-\frac{1}{2}) \cdot (-2)x^2 + 3 \cdot (-2)x - 5 \cdot (-2) < 0$

$x^2 - 6x + 10 < 0$

Ответ: $x^2 - 6x + 10 < 0$

б) В неравенстве $\frac{1}{3}x^2 - 8x + 3 < 0$ коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{3}$. Чтобы сделать его равным 1, умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не изменится, так как мы умножаем на положительное число.

$(\frac{1}{3}x^2 - 8x + 3) \cdot 3 < 0 \cdot 3$

$\frac{1}{3} \cdot 3 x^2 - 8 \cdot 3 x + 3 \cdot 3 < 0$

$x^2 - 24x + 9 < 0$

Ответ: $x^2 - 24x + 9 < 0$

в) В неравенстве $\frac{1}{5}x^2 - 5x + 7 > 0$ коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{5}$. Умножим обе части неравенства на 5 (положительное число), чтобы коэффициент при $x^2$ стал равен 1. Знак неравенства при этом не меняется.

$(\frac{1}{5}x^2 - 5x + 7) \cdot 5 > 0 \cdot 5$

$\frac{1}{5} \cdot 5 x^2 - 5 \cdot 5 x + 7 \cdot 5 > 0$

$x^2 - 25x + 35 > 0$

Ответ: $x^2 - 25x + 35 > 0$

г) Исходное неравенство: $-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 1 < 0$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4}$. Для того чтобы получить коэффициент 1, умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ < $ на $ > $).

$(-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 1) \cdot (-4) > 0 \cdot (-4)$

$(-\frac{1}{4}) \cdot (-4) x^2 + \frac{1}{2} \cdot (-4) x - 1 \cdot (-4) > 0$

$x^2 - 2x + 4 > 0$

Ответ: $x^2 - 2x + 4 > 0$

78. Разделив правую и левую части неравенства на общий делитель свободного члена и коэффициентов при $x^2$ и при $x$, напишите неравенство, равносильное данному:

а) $4x^2 - 6x + 10 > 0;$ б) $-6x^2 - 12x - 6 < 0;$

в) $-9x^2 - 90x - 81 > 0;$ г) $10x^2 - 20x + 30 > 0;$

д) $12x^2 - 16x + 8 < 0;$ е) $-11x^2 - 44x - 33 < 0.$

а) В неравенстве $4x^2 - 6x + 10 > 0$ коэффициенты равны 4, -6, а свободный член равен 10.
Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 4, 6 и 10. НОД(4, 6, 10) = 2.
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{4x^2}{2} - \frac{6x}{2} + \frac{10}{2} > \frac{0}{2}$
$2x^2 - 3x + 5 > 0$
Ответ: $2x^2 - 3x + 5 > 0$

б) В неравенстве $-6x^2 - 12x - 6 < 0$ коэффициенты равны -6, -12, а свободный член равен -6.
Наибольший общий делитель для модулей этих чисел НОД(6, 12, 6) = 6.
Для удобства разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $<$ на $>$):
$\frac{-6x^2}{-6} - \frac{12x}{-6} - \frac{6}{-6} > \frac{0}{-6}$
$x^2 + 2x + 1 > 0$
Ответ: $x^2 + 2x + 1 > 0$

в) В неравенстве $-9x^2 - 90x - 81 > 0$ коэффициенты равны -9, -90, а свободный член равен -81.
Наибольший общий делитель для модулей этих чисел НОД(9, 90, 81) = 9.
Разделим обе части неравенства на -9. Знак неравенства изменится на противоположный (с $>$ на $<$):
$\frac{-9x^2}{-9} - \frac{90x}{-9} - \frac{81}{-9} < \frac{0}{-9}$
$x^2 + 10x + 9 < 0$
Ответ: $x^2 + 10x + 9 < 0$

г) В неравенстве $10x^2 - 20x + 30 > 0$ коэффициенты равны 10, -20, а свободный член равен 30.
Наибольший общий делитель для модулей этих чисел НОД(10, 20, 30) = 10.
Разделим обе части неравенства на 10. Знак неравенства не изменится:
$\frac{10x^2}{10} - \frac{20x}{10} + \frac{30}{10} > \frac{0}{10}$
$x^2 - 2x + 3 > 0$
Ответ: $x^2 - 2x + 3 > 0$

д) В неравенстве $12x^2 - 16x + 8 < 0$ коэффициенты равны 12, -16, а свободный член равен 8.
Наибольший общий делитель для модулей этих чисел НОД(12, 16, 8) = 4.
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не изменится:
$\frac{12x^2}{4} - \frac{16x}{4} + \frac{8}{4} < \frac{0}{4}$
$3x^2 - 4x + 2 < 0$
Ответ: $3x^2 - 4x + 2 < 0$

е) В неравенстве $-11x^2 - 44x - 33 < 0$ коэффициенты равны -11, -44, а свободный член равен -33.
Наибольший общий делитель для модулей этих чисел НОД(11, 44, 33) = 11.
Разделим обе части неравенства на -11. Знак неравенства изменится на противоположный (с $<$ на $>$):
$\frac{-11x^2}{-11} - \frac{44x}{-11} - \frac{33}{-11} > \frac{0}{-11}$
$x^2 + 4x + 3 > 0$
Ответ: $x^2 + 4x + 3 > 0$