Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

62. Исследуем. При каких значениях a:

a) число 1 является решением системы неравенств

$\begin{cases} 3ax + 2 > 6x - a, \\ 2ax - 3 < 4x + 5a; \end{cases}$

б) число 1 не является решением системы неравенств

$\begin{cases} 2x > 5 - a, \\ x < 3a - 4; \end{cases}$

в) число 3 является решением системы неравенств

$\begin{cases} x - 4a > 2, \\ 2x - 3a < 15, \end{cases}$

а число 6 не является решением этой системы?

а) число 1 является решением системы неравенств

Чтобы число 1 было решением системы неравенств, оно должно удовлетворять каждому неравенству системы. Подставим $x=1$ в оба неравенства:

$ \begin{cases} 3a(1) + 2 > 6(1) - a \\ 2a(1) - 3 < 4(1) + 5a \end{cases} $

Теперь решим получившуюся систему относительно переменной $a$.

Решаем первое неравенство:

$3a + 2 > 6 - a$

$3a + a > 6 - 2$

$4a > 4$

$a > 1$

Решаем второе неравенство:

$2a - 3 < 4 + 5a$

$-3 - 4 < 5a - 2a$

$-7 < 3a$

$a > -\frac{7}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений. Число $a$ должно быть одновременно больше 1 и больше $-\frac{7}{3}$. Общим решением для этих двух условий является $a > 1$.

Ответ: $a \in (1; +\infty)$

б) число 1 не является решением системы неравенств

Число 1 не является решением системы, если оно не удовлетворяет хотя бы одному из неравенств. Это условие является противоположным тому, что число 1 является решением системы. Сначала найдем, при каких значениях $a$ число 1 является решением данной системы.

Подставим $x=1$ в систему:

$ \begin{cases} 2(1) > 5 - a \\ 1 < 3a - 4 \end{cases} $

Решим эту систему относительно $a$.

Первое неравенство:

$2 > 5 - a$

$a > 5 - 2$

$a > 3$

Второе неравенство:

$1 < 3a - 4$

$1 + 4 < 3a$

$5 < 3a$

$a > \frac{5}{3}$

Чтобы число 1 было решением, оба условия должны выполняться одновременно: $a>3$ и $a > \frac{5}{3}$. Пересечением этих условий является $a > 3$.

Итак, число 1 является решением системы при $a > 3$. Следовательно, число 1 не является решением системы при всех остальных значениях $a$, то есть при $a \le 3$.

Ответ: $a \in (-\infty; 3]$

в) число 3 является решением системы неравенств, а число 6 не является решением этой системы

Это задание состоит из двух условий, которые должны выполняться одновременно.

Условие 1: Число 3 является решением системы.

Подставим $x=3$ в оба неравенства и решим полученную систему относительно $a$:

$ \begin{cases} 3 - 4a > 2 \\ 2(3) - 3a < 15 \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$3 - 4a > 2$

$-4a > 2 - 3$

$-4a > -1$

$a < \frac{1}{4}$

Решаем второе неравенство:

$6 - 3a < 15$

$-3a < 15 - 6$

$-3a < 9$

$a > -3$

Таким образом, число 3 является решением системы при $-3 < a < \frac{1}{4}$.

Условие 2: Число 6 не является решением системы.

Это означает, что при подстановке $x=6$ хотя бы одно из неравенств не выполняется. Найдем сначала, когда число 6 является решением. Подставим $x=6$:

$ \begin{cases} 6 - 4a > 2 \\ 2(6) - 3a < 15 \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$6 - 4a > 2$

$-4a > -4$

$a < 1$

Решаем второе неравенство:

$12 - 3a < 15$

$-3a < 3$

$a > -1$

Число 6 является решением при $-1 < a < 1$. Следовательно, оно не является решением, если $a$ не входит в этот интервал, то есть при $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Итоговое решение:

Нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

1. $-3 < a < \frac{1}{4}$

2. $a \le -1$ или $a \ge 1$

Найдем пересечение этих множеств. Интервал $(-3; \frac{1}{4})$ пересекается с множеством $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Пересечение $(-3; \frac{1}{4})$ с $(-\infty; -1]$ дает интервал $(-3; -1]$.

Пересечение $(-3; \frac{1}{4})$ с $[1; +\infty)$ является пустым множеством, так как $\frac{1}{4} < 1$.

Следовательно, итоговое решение: $a \in (-3; -1]$.

Ответ: $a \in (-3; -1]$