Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

30. а) Какое неравенство называют линейным неравенством с одним неизвестным?

б) Что называют членами линейного неравенства?

в) Какие неравенства называют равносильными?

г) Сформулируйте утверждения о равносильности неравенств.

а) Линейным неравенством с одним неизвестным называют неравенство, которое в результате преобразований можно свести к одному из следующих видов: $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$. В этих неравенствах $x$ является переменной (или неизвестным), а $a$ и $b$ — это некоторые действительные числа, которые называют коэффициентами. Принципиально важным является условие, что коэффициент $a$ при переменной не равен нулю ($a \ne 0$), поскольку в случае $a = 0$ неравенство перестает содержать переменную и становится либо верным, либо неверным числовым неравенством.

Ответ: Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа, причем $a \ne 0$.

б) Каждое неравенство состоит из двух частей — левой и правой, которые разделены знаком неравенства ($>$, <, $\ge$ или $\le$). Членами неравенства называют отдельные слагаемые, из которых состоят эти части. Например, рассмотрим неравенство $7x - 15 < 3x + 5$. Его левая часть — это выражение $7x - 15$, а правая — $3x + 5$. Членами данного неравенства являются слагаемые $7x$, $-15$, $3x$ и $5$.

Ответ: Членами линейного неравенства называют слагаемые, из которых состоят его левая и правая части.

в) Неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение первого неравенства является решением второго, и любое решение второго является решением первого. Неравенства, которые не имеют решений, также считаются равносильными друг другу. Например, неравенства $x+3 > 5$ и $x > 2$ равносильны, так как решением обоих является любое число, большее 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: Равносильными называют неравенства, множества решений которых совпадают. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

г) Равносильность неравенств определяется несколькими ключевыми утверждениями (свойствами), которые лежат в основе методов их решения. Эти утверждения позволяют преобразовывать исходное неравенство в более простое, но равносильное ему.

1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный, то получится новое неравенство, равносильное исходному. Это свойство аналогично переносу слагаемых в уравнениях.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное исходному. При этом знак неравенства сохраняется.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный (то есть знак $>$ на <, < на $>$, $\ge$ на $\le$, а $\le$ на $\ge$), то получится неравенство, равносильное исходному.

Ответ: Утверждения о равносильности неравенств:
1. Перенос любого члена из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный приводит к равносильному неравенству.
2. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число приводит к равносильному неравенству (знак неравенства сохраняется).
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с одновременным изменением знака неравенства на противоположный приводит к равносильному неравенству.

31. Приведите неравенство к виду $kx + b > 0$ или $kx + b < 0$:

a) $3x - 2 > 7x + 5;$

б) $4 - 6x < 9 - x;$

в) $7 > 0,2x;$

г) $8 - 2(3 - 2x) < 1.$

а) $3x - 2 > 7x + 5$

Чтобы привести неравенство к требуемому виду, перенесем все слагаемые из правой части в левую. Для этого вычтем $7x$ и $5$ из обеих частей неравенства, чтобы справа остался ноль.

$3x - 2 - 7x - 5 > 0$

Далее приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x - 7x) + (-2 - 5) > 0$

$-4x - 7 > 0$

Полученное неравенство имеет вид $kx + b > 0$, где $k = -4$ и $b = -7$. Можно также было перенести все члены в правую часть, что привело бы к неравенству $4x + 7 < 0$, которое является равносильным.

Ответ: $-4x - 7 > 0$

б) $4 - 6x < 9 - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства. Для этого вычтем $9$ и прибавим $x$ к обеим частям.

$4 - 6x - 9 + x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-6x + x) + (4 - 9) < 0$

$-5x - 5 < 0$

Полученное неравенство имеет вид $kx + b < 0$, где $k = -5$ и $b = -5$.

Ответ: $-5x - 5 < 0$

в) $7 > 0,2x$

Перенесем слагаемое $0,2x$ в левую часть неравенства, вычитая его из обеих частей.

$7 - 0,2x > 0$

Для приведения к стандартному виду $kx + b > 0$ поменяем слагаемые местами:

$-0,2x + 7 > 0$

Это неравенство имеет вид $kx + b > 0$, где $k = -0,2$ и $b = 7$.

Ответ: $-0,2x + 7 > 0$

г) $8 - 2(3 - 2x) < 1$

Сначала упростим левую часть неравенства, раскрыв скобки. Умножим $-2$ на каждый член в скобках:

$8 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-2x) < 1$

$8 - 6 + 4x < 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 4x < 1$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть, вычитая $1$ из обеих частей:

$2 + 4x - 1 < 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$4x + 1 < 0$

Полученное неравенство имеет вид $kx + b < 0$, где $k = 4$ и $b = 1$.

Ответ: $4x + 1 < 0$

32. Является ли число, указанное в скобках, решением неравенства:

а) $4x - 4 > 3x + 3$ (-1);

б) $2 + 12x < -x + 3$ (-2);

в) $5x - 7 > 9 + x$ (100);

г) $72x - 18 < -13x$ (-10)?

Чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, необходимо подставить это число в неравенство вместо переменной $x$ и проверить, выполняется ли оно.

а) $4x - 4 > 3x + 3$ при $x = -1$

Подставляем значение $x = -1$ в обе части неравенства:

$4 \cdot (-1) - 4 > 3 \cdot (-1) + 3$

Выполняем вычисления:

$-4 - 4 > -3 + 3$

$-8 > 0$

Полученное неравенство является неверным, так как число $-8$ меньше нуля. Следовательно, число $-1$ не является решением данного неравенства.

Ответ: не является.

б) $2 + 12x < -x + 3$ при $x = -2$

Подставляем значение $x = -2$ в обе части неравенства:

$2 + 12 \cdot (-2) < -(-2) + 3$

Выполняем вычисления:

$2 - 24 < 2 + 3$

$-22 < 5$

Полученное неравенство является верным. Следовательно, число $-2$ является решением данного неравенства.

Ответ: является.

в) $5x - 7 > 9 + x$ при $x = 100$

Подставляем значение $x = 100$ в обе части неравенства:

$5 \cdot 100 - 7 > 9 + 100$

Выполняем вычисления:

$500 - 7 > 109$

$493 > 109$

Полученное неравенство является верным. Следовательно, число $100$ является решением данного неравенства.

Ответ: является.

г) $72x - 18 < -13x$ при $x = -10$

Подставляем значение $x = -10$ в обе части неравенства:

$72 \cdot (-10) - 18 < -13 \cdot (-10)$

Выполняем вычисления:

$-720 - 18 < 130$

$-738 < 130$

Полученное неравенство является верным. Следовательно, число $-10$ является решением данного неравенства.

Ответ: является.

33. Являются ли равносильными неравенства:

а) $2x - 1 > 6$ и $6 > 2x - 1;$

б) $x < 3$ и $x + 2 < 5;$

в) $2x > 4$ и $x < 2;$

г) $2x > 5$ и $x - 7 > -2 - x;$

д) $2 < 7 - x$ и $3x < 5 + 2x;$

е) $3x - 7 > 5$ и $-3x + 7 < -5?$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность данных пар неравенств, нужно решить каждое из них и сравнить полученные множества решений.

а) $2x - 1 > 6$ и $6 > 2x - 1$

Решим первое неравенство:

$2x - 1 > 6$

$2x > 6 + 1$

$2x > 7$

$x > 3.5$

Множество решений первого неравенства — это интервал $(3.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$6 > 2x - 1$

Это неравенство можно переписать как $2x - 1 < 6$.

$2x < 6 + 1$

$2x < 7$

$x < 3.5$

Множество решений второго неравенства — это интервал $(-\infty; 3.5)$.

Так как множества решений $(3.5; +\infty)$ и $(-\infty; 3.5)$ не совпадают, неравенства не являются равносильными.

Ответ: не являются равносильными.

б) $x < 3$ и $x + 2 < 5$

Множество решений первого неравенства $x < 3$ уже задано: $(-\infty; 3)$.

Решим второе неравенство:

$x + 2 < 5$

$x < 5 - 2$

$x < 3$

Множество решений второго неравенства также является $(-\infty; 3)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

в) $2x > 4$ и $x < 2$

Решим первое неравенство:

$2x > 4$

$x > \frac{4}{2}$

$x > 2$

Множество решений первого неравенства: $(2; +\infty)$.

Множество решений второго неравенства $x < 2$: $(-\infty; 2)$.

Множества решений $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$ не совпадают.

Ответ: не являются равносильными.

г) $2x > 5$ и $x - 7 > -2 - x$

Решим первое неравенство:

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

Множество решений первого неравенства: $(2.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - 7 > -2 - x$

$x + x > 7 - 2$

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

Множество решений второго неравенства также $(2.5; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

д) $2 < 7 - x$ и $3x < 5 + 2x$

Решим первое неравенство:

$2 < 7 - x$

$x < 7 - 2$

$x < 5$

Множество решений первого неравенства: $(-\infty; 5)$.

Решим второе неравенство:

$3x < 5 + 2x$

$3x - 2x < 5$

$x < 5$

Множество решений второго неравенства также $(-\infty; 5)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.

е) $3x - 7 > 5$ и $-3x + 7 < -5$

Решим первое неравенство:

$3x - 7 > 5$

$3x > 5 + 7$

$3x > 12$

$x > \frac{12}{3}$

$x > 4$

Множество решений первого неравенства: $(4; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$-3x + 7 < -5$

$-3x < -5 - 7$

$-3x < -12$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-12}{-3}$

$x > 4$

Множество решений второго неравенства также $(4; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: являются равносильными.