Страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

8. a) Что называют решением неравенства с одним неизвестным?

б) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

а) Решением неравенства с одним неизвестным называют такое значение переменной (неизвестного), при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство. То есть, это число, которое "удовлетворяет" данному неравенству, обращая его в истинное высказывание.

Например, рассмотрим неравенство $x + 5 > 8$.

Если мы подставим значение $x = 4$, то получим $4 + 5 > 8$, что можно упростить до $9 > 8$. Это верное числовое неравенство, следовательно, число 4 является решением данного неравенства.

Если же мы подставим значение $x = 2$, то получим $2 + 5 > 8$, что упрощается до $7 > 8$. Это неверное числовое неравенство, значит, число 2 не является решением.

Ответ: Решением неравенства с одним неизвестным является значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

б) Решить неравенство с одним неизвестным — это значит найти все его решения или доказать, что решений не существует. Совокупность всех решений неравенства образует множество решений.

Процесс решения неравенства заключается в нахождении всех значений переменной, которые удовлетворяют этому неравенству. Обычно множество решений представляет собой один или несколько числовых промежутков (интервалов, лучей, отрезков).

Например, решить неравенство $3x - 4 \le 5$ означает найти все такие $x$, при которых это неравенство верно. Для этого выполняют равносильные преобразования:

1. Прибавим 4 к обеим частям неравенства: $3x - 4 + 4 \le 5 + 4$, что дает $3x \le 9$.

2. Разделим обе части на положительное число 3: $x \le 3$.

Результат $x \le 3$ означает, что решением является любое число, которое меньше или равно 3. Это множество решений записывается в виде числового промежутка $(-\infty; 3]$.

Если в процессе решения мы приходим к выводу, что ни одно число не удовлетворяет неравенству (например, для неравенства $x^2 < -1$), то мы доказываем, что решений нет. В таком случае множество решений является пустым: $\emptyset$.

Ответ: Решить неравенство означает найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

9. Можно ли указать:

а) наименьшее решение неравенства $x > 0$;

б) наибольшее решение неравенства $x < -2$;

в) наименьшее целое решение неравенства $x > -5$;

г) наибольшее целое решение неравенства $x < 1$?

а) наименьшее решение неравенства $x > 0$;

Неравенство $x > 0$ означает, что $x$ может быть любым действительным числом, которое строго больше нуля. Множество решений этого неравенства представляет собой открытый числовой луч $(0; +\infty)$. У этого множества нет наименьшего элемента. Какое бы малое положительное число мы ни взяли, например $0.001$, всегда можно найти число, которое еще меньше и тоже больше нуля, например $0.0001$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, стремясь к нулю, но никогда его не достигая. Таким образом, наименьшее число, удовлетворяющее этому неравенству, указать невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

б) наибольшее решение неравенства $x < -2$;

Неравенство $x < -2$ означает, что $x$ может быть любым действительным числом, которое строго меньше $-2$. Множество решений этого неравенства представляет собой открытый числовой луч $(-\infty; -2)$. По аналогии с предыдущим пунктом, у этого множества нет наибольшего элемента. Какое бы число, меньшее $-2$, мы ни взяли, например $-2.01$, всегда можно найти число, которое еще больше и при этом все еще меньше $-2$, например $-2.001$. Мы можем бесконечно приближаться к $-2$ слева, но никогда не достигнем «самого большого» числа, которое меньше $-2$. Следовательно, указать наибольшее решение невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

в) наименьшее целое решение неравенства $x > -5$;

В данном случае мы ищем не любое решение, а наименьшее целое решение. Неравенству $x > -5$ удовлетворяют все целые числа, которые больше $-5$. Перечислим их в порядке возрастания: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, \dots$. Из этого ряда чисел видно, что самое маленькое (наименьшее) целое число, удовлетворяющее условию, это $-4$.

Ответ: да, можно, это число $-4$.

г) наибольшее целое решение неравенства $x < 1?$

Здесь требуется найти наибольшее целое решение неравенства $x < 1$. Этому неравенству удовлетворяют все целые числа, которые меньше $1$. Перечислим их в порядке убывания: $0, -1, -2, -3, \dots$. Из этого ряда чисел видно, что самое большое (наибольшее) целое число, удовлетворяющее условию, это $0$.

Ответ: да, можно, это число $0$.

10. Является ли число 3 решением неравенства:

а) $x > 0;$

б) $x > -2;$

в) $x < \pi;$

г) $x < 3;$

д) $x < \sqrt{10};$

е) $\sqrt{8,7} < x?$

Чтобы определить, является ли число 3 решением неравенства, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, получается ли в результате верное числовое утверждение.

а) $x > 0$
Подставляем $x = 3$: $3 > 0$. Это верное неравенство, так как 3 — положительное число и, следовательно, больше нуля.
Ответ: да, является.

б) $x > -2$
Подставляем $x = 3$: $3 > -2$. Это верное неравенство, так как любое положительное число больше любого отрицательного числа.
Ответ: да, является.

в) $x < \pi$
Подставляем $x = 3$: $3 < \pi$. Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительное значение которой равно $3,14159...$. Поскольку $3 < 3,14159...$, данное неравенство является верным.
Ответ: да, является.

г) $x < 3$
Подставляем $x = 3$: $3 < 3$. Это неверное неравенство. Знак «<» означает «строго меньше». Число 3 не может быть строго меньше самого себя; оно равно себе ($3 = 3$).
Ответ: нет, не является.

д) $x < \sqrt{10}$
Подставляем $x = 3$: $3 < \sqrt{10}$. Чтобы сравнить эти два числа, можно возвести их в квадрат, так как оба числа положительны (знак неравенства при этом не изменится). $3^2 = 9$ $(\sqrt{10})^2 = 10$ Так как $9 < 10$, то и исходное неравенство $3 < \sqrt{10}$ является верным.
Ответ: да, является.

е) $\sqrt{8,7} < x$
Подставляем $x = 3$: $\sqrt{8,7} < 3$. Аналогично предыдущему пункту, возведем оба положительных числа в квадрат. $(\sqrt{8,7})^2 = 8,7$ $3^2 = 9$ Так как $8,7 < 9$, то и исходное неравенство $\sqrt{8,7} < 3$ является верным.
Ответ: да, является.

Решите неравенство (11–25):

11. а) $x - 1 > 0$; б) $x + 5 < 0$; в) $x - 0,5 < 0$;

г) $3 + x > 0$; д) $7 + x > 0$; е) $x - \frac{1}{3} < 0$.

а) $x - 1 > 0$

Чтобы решить данное линейное неравенство, необходимо выразить переменную $x$. Для этого переносим число $-1$ из левой части неравенства в правую, меняя при этом его знак на противоположный.

$x > 1$

Решением неравенства являются все числа, строго большие 1. Это можно записать в виде числового промежутка: $(1; +\infty)$.

Ответ: $x > 1$.

б) $x + 5 < 0$

Переносим число $5$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.

$x < -5$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие -5. В виде числового промежутка: $(-\infty; -5)$.

Ответ: $x < -5$.

в) $x - 0,5 < 0$

Переносим число $-0,5$ из левой части неравенства в правую с противоположным знаком.

$x < 0,5$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие 0,5. В виде числового промежутка: $(-\infty; 0,5)$.

Ответ: $x < 0,5$.

г) $3 + x > 0$

Переносим число $3$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.

$x > -3$

Решением неравенства являются все числа, строго большие -3. В виде числового промежутка: $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x > -3$.

д) $7 + x > 0$

Переносим число $7$ из левой части неравенства в правую с противоположным знаком.

$x > -7$

Решением неравенства являются все числа, строго большие -7. В виде числового промежутка: $(-7; +\infty)$.

Ответ: $x > -7$.

е) $x - 1\frac{1}{3} < 0$

Переносим смешанное число $-1\frac{1}{3}$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный.

$x < 1\frac{1}{3}$

Решением неравенства являются все числа, строго меньшие $1\frac{1}{3}$. В виде числового промежутка: $(-\infty; 1\frac{1}{3})$.

Ответ: $x < 1\frac{1}{3}$.

12. а) $x + 4 > 7$;

б) $x - 11 < -7$;

в) $x + 7 > 7$;

г) $x - 6 < 6$;

д) $4 + x > 2$;

е) $3 + x < -6$.

а)

Дано линейное неравенство:
$x + 4 > 7$
Для решения неравенства необходимо изолировать переменную $x$. Перенесем слагаемое 4 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:
$x > 7 - 4$
$x > 3$
Решением неравенства является множество всех чисел, больших 3. В виде интервала это записывается как $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$

б)

Дано линейное неравенство:
$x - 11 < -7$
Перенесем слагаемое -11 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный, чтобы изолировать $x$:
$x < -7 + 11$
$x < 4$
Решением неравенства является множество всех чисел, меньших 4. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$

в)

Дано линейное неравенство:
$x + 7 > 7$
Перенесем слагаемое 7 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x > 7 - 7$
$x > 0$
Решением неравенства является множество всех чисел, больших 0. В виде интервала это записывается как $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

г)

Дано линейное неравенство:
$x - 6 < 6$
Перенесем слагаемое -6 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x < 6 + 6$
$x < 12$
Решением неравенства является множество всех чисел, меньших 12. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$

д)

Дано линейное неравенство:
$4 + x > 2$
Это неравенство эквивалентно $x + 4 > 2$. Перенесем слагаемое 4 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x > 2 - 4$
$x > -2$
Решением неравенства является множество всех чисел, больших -2. В виде интервала это записывается как $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

е)

Дано линейное неравенство:
$3 + x < -6$
Это неравенство эквивалентно $x + 3 < -6$. Перенесем слагаемое 3 из левой части в правую с противоположным знаком:
$x < -6 - 3$
$x < -9$
Решением неравенства является множество всех чисел, меньших -9. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -9)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9)$

13. а) $x - 2 > 0,2;$

б) $x - 3,5 < 4;$

в) $2,1 + x < 7;$

г) $x - 2 > -0,6;$

д) $x + 10,7 > 7,9;$

е) $5,013 + x < 0,13.$

а) Чтобы решить неравенство $x - 2 > 0,2$, необходимо изолировать переменную $x$. Для этого прибавим к обеим частям неравенства число 2. Знак неравенства при этом не изменится.
$x - 2 + 2 > 0,2 + 2$
$x > 2,2$
Решением является множество всех чисел, больших 2,2, то есть интервал $(2,2; +\infty)$.
Ответ: $x > 2,2$

б) Чтобы решить неравенство $x - 3,5 < 4$, прибавим к обеим частям неравенства число 3,5.
$x - 3,5 + 3,5 < 4 + 3,5$
$x < 7,5$
Решением является множество всех чисел, меньших 7,5, то есть интервал $(-\infty; 7,5)$.
Ответ: $x < 7,5$

в) Чтобы решить неравенство $2,1 + x < 7$, вычтем из обеих частей неравенства число 2,1.
$2,1 + x - 2,1 < 7 - 2,1$
$x < 4,9$
Решением является множество всех чисел, меньших 4,9, то есть интервал $(-\infty; 4,9)$.
Ответ: $x < 4,9$

г) Чтобы решить неравенство $x - 2 > -0,6$, прибавим к обеим частям неравенства число 2.
$x - 2 + 2 > -0,6 + 2$
$x > 1,4$
Решением является множество всех чисел, больших 1,4, то есть интервал $(1,4; +\infty)$.
Ответ: $x > 1,4$

д) Чтобы решить неравенство $x + 10,7 > 7,9$, вычтем из обеих частей неравенства число 10,7.
$x + 10,7 - 10,7 > 7,9 - 10,7$
$x > -2,8$
Решением является множество всех чисел, больших -2,8, то есть интервал $(-2,8; +\infty)$.
Ответ: $x > -2,8$

е) Чтобы решить неравенство $5,013 + x < 0,13$, вычтем из обеих частей неравенства число 5,013.
$5,013 + x - 5,013 < 0,13 - 5,013$
$x < -4,883$
Решением является множество всех чисел, меньших -4,883, то есть интервал $(-\infty; -4,883)$.
Ответ: $x < -4,883$

14. а) $x - 3 < -\frac{1}{3}$;

б) $x + \frac{1}{5} < 199$;

в) $\frac{5}{7} + x > 2\frac{1}{2}$;

г) $x - 2\frac{1}{2} < -1\frac{3}{5}$;

д) $x + \frac{37}{90} < \frac{11}{18}$;

е) $\frac{13}{48} + x > 7\frac{15}{16}$.

а) Чтобы решить неравенство $x - 3 < -\frac{1}{3}$, нужно изолировать переменную $x$. Для этого перенесем число $-3$ из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:
$x < 3 - \frac{1}{3}$
Далее выполним вычитание в правой части. Представим $3$ как $2\frac{3}{3}$:
$x < 2\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$
$x < 2\frac{2}{3}$
Ответ: $x < 2\frac{2}{3}$

б) В неравенстве $x + \frac{1}{5} < 199$ перенесем слагаемое $\frac{1}{5}$ из левой части в правую, изменив его знак:
$x < 199 - \frac{1}{5}$
Выполним вычитание. Представим $199$ как $198\frac{5}{5}$:
$x < 198\frac{5}{5} - \frac{1}{5}$
$x < 198\frac{4}{5}$
Ответ: $x < 198\frac{4}{5}$

в) Для решения неравенства $\frac{5}{7} + x > 2\frac{1}{2}$ перенесем дробь $\frac{5}{7}$ в правую часть с противоположным знаком:
$x > 2\frac{1}{2} - \frac{5}{7}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
$x > \frac{5}{2} - \frac{5}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $14$:
$x > \frac{5 \cdot 7}{14} - \frac{5 \cdot 2}{14}$
$x > \frac{35}{14} - \frac{10}{14}$
$x > \frac{25}{14}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$x > 1\frac{11}{14}$
Ответ: $x > 1\frac{11}{14}$

г) В неравенстве $x - 2\frac{1}{2} < -1\frac{3}{5}$ перенесем $-2\frac{1}{2}$ в правую часть со знаком плюс:
$x < 2\frac{1}{2} - 1\frac{3}{5}$
Для выполнения вычитания преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ и $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$x < \frac{5}{2} - \frac{8}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю $10$:
$x < \frac{5 \cdot 5}{10} - \frac{8 \cdot 2}{10}$
$x < \frac{25}{10} - \frac{16}{10}$
$x < \frac{9}{10}$
Ответ: $x < \frac{9}{10}$

д) Чтобы решить неравенство $x + \frac{37}{90} < \frac{11}{18}$, перенесем $\frac{37}{90}$ в правую часть:
$x < \frac{11}{18} - \frac{37}{90}$
Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для $18$ и $90$ - это $90$. Домножим первую дробь на $5$:
$x < \frac{11 \cdot 5}{18 \cdot 5} - \frac{37}{90}$
$x < \frac{55}{90} - \frac{37}{90}$
$x < \frac{18}{90}$
Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на $18$:
$x < \frac{1}{5}$
Ответ: $x < \frac{1}{5}$

е) В неравенстве $\frac{13}{48} + x > 7\frac{15}{16}$ перенесем $\frac{13}{48}$ в правую часть:
$x > 7\frac{15}{16} - \frac{13}{48}$
Приведем дробные части к общему знаменателю $48$. Домножим дробную часть смешанного числа на $3$:
$x > 7\frac{15 \cdot 3}{16 \cdot 3} - \frac{13}{48}$
$x > 7\frac{45}{48} - \frac{13}{48}$
Вычтем дробные части:
$x > 7\frac{45-13}{48}$
$x > 7\frac{32}{48}$
Сократим дробную часть $\frac{32}{48}$. Наибольший общий делитель для $32$ и $48$ - это $16$:
$x > 7\frac{2}{3}$
Ответ: $x > 7\frac{2}{3}$

15. a) $x-3,6 > 2\frac{1}{3}$;

б) $7,4+x > 7\frac{2}{5}$;

B) $x-12\frac{1}{4} < 15,3$.

a) $x - 3,6 > 2\frac{1}{3}$
Для решения данного неравенства представим все числа в виде обыкновенных дробей, так как $2\frac{1}{3}$ является бесконечной периодической десятичной дробью.
Представим десятичную дробь $3,6$ в виде неправильной дроби:
$3,6 = 3\frac{6}{10} = 3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$
Представим смешанную дробь $2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь неравенство имеет вид:
$x - \frac{18}{5} > \frac{7}{3}$
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{18}{5}$ в правую часть неравенства, изменив знак на "+":
$x > \frac{7}{3} + \frac{18}{5}$
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это 15:
$x > \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{18 \cdot 3}{5 \cdot 3}$
$x > \frac{35}{15} + \frac{54}{15}$
$x > \frac{35+54}{15}$
$x > \frac{89}{15}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанную, выделив целую часть:
$89 \div 15 = 5$ (остаток $14$)
Следовательно, $x > 5\frac{14}{15}$.
Ответ: $x > 5\frac{14}{15}$

б) $7,4 + x > 7\frac{2}{5}$
Для удобства вычислений преобразуем смешанную дробь в десятичную.
$7\frac{2}{5} = 7\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 7\frac{4}{10} = 7,4$
Подставим полученное значение в неравенство:
$7,4 + x > 7,4$
Чтобы найти $x$, перенесем $7,4$ из левой части в правую, изменив знак на "-":
$x > 7,4 - 7,4$
$x > 0$
Ответ: $x > 0$

в) $x - 12\frac{1}{4} < 15,3$
Для решения этого неравенства преобразуем смешанную дробь в десятичную.
$12\frac{1}{4} = 12\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = 12\frac{25}{100} = 12,25$
Подставим это значение в исходное неравенство:
$x - 12,25 < 15,3$
Перенесем $-12,25$ в правую часть неравенства, изменив знак на "+":
$x < 15,3 + 12,25$
Выполним сложение десятичных дробей:
$x < 27,55$
Ответ: $x < 27,55$

16. а) $2x > 4;$

б) $7x < -14;$

в) $-5x < 100;$

г) $-3x < 9;$

д) $-2x > -2;$

е) $-3x > -6.$

а) Решим неравенство $2x > 4$.
Чтобы найти $x$, нужно изолировать его в левой части неравенства. Для этого разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2.
Поскольку мы делим на положительное число (2 > 0), знак неравенства '>' не меняется.
$\frac{2x}{2} > \frac{4}{2}$
$x > 2$
Решением являются все числа, которые больше 2.
Ответ: $x > 2$.

б) Решим неравенство $7x < -14$.
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 7.
Так как 7 — положительное число, знак неравенства '<' сохраняется.
$\frac{7x}{7} < \frac{-14}{7}$
$x < -2$
Решением являются все числа, которые меньше -2.
Ответ: $x < -2$.

в) Решим неравенство $-5x < 100$.
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -5.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае, -5), знак неравенства необходимо изменить на противоположный (знак '<' меняется на '>').
$\frac{-5x}{-5} > \frac{100}{-5}$
$x > -20$
Решением являются все числа, которые больше -20.
Ответ: $x > -20$.

г) Решим неравенство $-3x < 9$.
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -3.
Поскольку мы делим на отрицательное число (-3 < 0), мы должны поменять знак неравенства с '<' на '>'.
$\frac{-3x}{-3} > \frac{9}{-3}$
$x > -3$
Решением являются все числа, которые больше -3.
Ответ: $x > -3$.

д) Решим неравенство $-2x > -2$.
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -2.
Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства '>' меняется на '<'.
$\frac{-2x}{-2} < \frac{-2}{-2}$
$x < 1$
Решением являются все числа, которые меньше 1.
Ответ: $x < 1$.

е) Решим неравенство $-3x > -6$.
Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -3.
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства '>' необходимо изменить на противоположный, то есть на '<'.
$\frac{-3x}{-3} < \frac{-6}{-3}$
$x < 2$
Решением являются все числа, которые меньше 2.
Ответ: $x < 2$.

17. a) $3x < 2$;

б) $-2x < 11$;

в) $-4x > -2$;

г) $-5x > 1$;

д) $-17x > -2$;

е) $13x < 3$.

а) Исходное неравенство: $3x < 2$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{2}{3}$

Ответ: $x < \frac{2}{3}$.

б) Исходное неравенство: $-2x < 11$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае с «<» на «>»).

$x > \frac{11}{-2}$

$x > -\frac{11}{2}$

Ответ: $x > -\frac{11}{2}$.

в) Исходное неравенство: $-4x > -2$.

Разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный (с «>» на «<»).

$x < \frac{-2}{-4}$

$x < \frac{1}{2}$

Ответ: $x < \frac{1}{2}$.

г) Исходное неравенство: $-5x > 1$.

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «>» на «<»).

$x < \frac{1}{-5}$

$x < -\frac{1}{5}$

Ответ: $x < -\frac{1}{5}$.

д) Исходное неравенство: $-17x > -2$.

Разделим обе части неравенства на -17. Знак неравенства меняется на противоположный (с «>» на «<»), так как мы делим на отрицательное число.

$x < \frac{-2}{-17}$

$x < \frac{2}{17}$

Ответ: $x < \frac{2}{17}$.

е) Исходное неравенство: $13x < 3$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{3}{13}$

Ответ: $x < \frac{3}{13}$.

18. a) $2x > 0;$

б) $-2x < 0;$

в) $-x < 2;$

г) $-x < 0;$

д) $-x > -2;$

е) $-x > 1.$

а) Дано неравенство $2x > 0$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства сохраняется.
$ \frac{2x}{2} > \frac{0}{2} $
$ x > 0 $
Решением является интервал $(0; +\infty)$.
Ответ: $ x > 0 $.

б) Дано неравенство $-2x < 0$. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «<» на «>»).
$ \frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2} $
$ x > 0 $
Решением является интервал $(0; +\infty)$.
Ответ: $ x > 0 $.

в) Дано неравенство $-x < 2$. Это неравенство эквивалентно $-1 \cdot x < 2$. Чтобы найти $x$, умножим (или разделим) обе части на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
$ (-x) \cdot (-1) > 2 \cdot (-1) $
$ x > -2 $
Решением является интервал $(-2; +\infty)$.
Ответ: $ x > -2 $.

г) Дано неравенство $-x < 0$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
$ (-x) \cdot (-1) > 0 \cdot (-1) $
$ x > 0 $
Решением является интервал $(0; +\infty)$.
Ответ: $ x > 0 $.

д) Дано неравенство $-x > -2$. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства с «>» на «<».
$ (-x) \cdot (-1) < (-2) \cdot (-1) $
$ x < 2 $
Решением является интервал $(-\infty; 2)$.
Ответ: $ x < 2 $.

е) Дано неравенство $-x > 1$. Умножим обе части на -1, не забывая изменить знак неравенства на противоположный.
$ (-x) \cdot (-1) < 1 \cdot (-1) $
$ x < -1 $
Решением является интервал $(-\infty; -1)$.
Ответ: $ x < -1 $.

19. a) $\frac{1}{2}x < 3;$

б) $\frac{3}{4}x < 1;$

в) $-\frac{1}{3}x > -1;$

г) $\frac{1}{5}x > 0;$

д) $2x > \frac{2}{3};$

e) $-4x < \frac{8}{11}.$

а) $\frac{1}{2}x < 3$

Чтобы решить это неравенство, необходимо выразить переменную $x$. Для этого умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства $(<)$ не меняется.

$(\frac{1}{2}x) \cdot 2 < 3 \cdot 2$

$x < 6$

Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше 6, то есть числовой промежуток $(-\infty; 6)$.

Ответ: $x < 6$.

б) $\frac{3}{4}x < 1$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3}$ — положительное число, знак неравенства $(<)$ не меняется.

$(\frac{3}{4}x) \cdot \frac{4}{3} < 1 \cdot \frac{4}{3}$

$x < \frac{4}{3}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{4}{3})$.

Ответ: $x < \frac{4}{3}$.

в) $-\frac{1}{3}x > -1$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае $>$ на <).

$(-\frac{1}{3}x) \cdot (-3) < (-1) \cdot (-3)$

$x < 3$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x < 3$.

г) $\frac{1}{5}x > 0$

Умножим обе части неравенства на 5. Знак неравенства $(>)$ не меняется, так как 5 — положительное число.

$(\frac{1}{5}x) \cdot 5 > 0 \cdot 5$

$x > 0$

Решением неравенства является числовой промежуток $(0; +\infty)$.

Ответ: $x > 0$.

д) $2x > \frac{2}{3}$

Разделим обе части неравенства на 2 (или, что то же самое, умножим на $\frac{1}{2}$). Знак неравенства $(>)$ не меняется, так как 2 — положительное число.

$\frac{2x}{2} > \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$x > \frac{2}{6}$

Сократим дробь в правой части:

$x > \frac{1}{3}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x > \frac{1}{3}$.

е) $-4x < \frac{8}{11}$

Разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с < на $>$).

$\frac{-4x}{-4} > \frac{8}{11} \div (-4)$

$x > \frac{8}{11} \cdot (-\frac{1}{4})$

$x > -\frac{8}{44}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x > -\frac{2}{11}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\frac{2}{11}; +\infty)$.

Ответ: $x > -\frac{2}{11}$.

20. а) $\frac{2}{3} x < \frac{5}{6}$;

б) $-\frac{4}{7} x > \frac{8}{7}$;

в) $-2x < 1\frac{1}{3}$;

г) $2\frac{1}{5} x > 3$;

д) $1\frac{1}{2} x > -2\frac{1}{2}$;

е) $-3\frac{2}{7} x < -3\frac{1}{7}$.

а) Исходное неравенство: $ \frac{2}{3}x < \frac{5}{6} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $ \frac{2}{3} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $ \frac{3}{2} $. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$ x < \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} $

$ x < \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 2} $

$ x < \frac{15}{12} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ x < \frac{5}{4} $.

Ответ: $ x < \frac{5}{4} $.

б) Исходное неравенство: $ -\frac{4}{7}x > \frac{8}{7} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $ -\frac{4}{7} $ (или умножим на обратную дробь $ -\frac{7}{4} $). При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`).

$ x < \frac{8}{7} \cdot (-\frac{7}{4}) $

$ x < -\frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 4} $

Сократим дробь на 7 и на 4:

$ x < -2 $.

Ответ: $ x < -2 $.

в) Исходное неравенство: $ -2x < 1\frac{1}{3} $.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $.

Неравенство принимает вид: $ -2x < \frac{4}{3} $.

Разделим обе части на -2. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`).

$ x > \frac{4/3}{-2} $

$ x > \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) $

$ x > -\frac{4}{6} $

Сократим дробь:

$ x > -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ x > -\frac{2}{3} $.

г) Исходное неравенство: $ 2\frac{1}{5}x > 3 $.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{11}{5}x > 3 $.

Умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $ \frac{5}{11} $. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$ x > 3 \cdot \frac{5}{11} $

$ x > \frac{15}{11} $.

Ответ: $ x > \frac{15}{11} $.

д) Исходное неравенство: $ 1\frac{1}{2}x > -2\frac{1}{2} $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ и $ -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{3}{2}x > -\frac{5}{2} $.

Умножим обе части на $ \frac{2}{3} $. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$ x > -\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} $

$ x > -\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} $

Сократим дробь на 2:

$ x > -\frac{5}{3} $.

Ответ: $ x > -\frac{5}{3} $.

е) Исходное неравенство: $ -3\frac{2}{7}x < -3\frac{1}{7} $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ -3\frac{2}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{23}{7} $

$ -3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7} $

Неравенство принимает вид: $ -\frac{23}{7}x < -\frac{22}{7} $.

Умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $ -\frac{7}{23} $. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`).

$ x > (-\frac{22}{7}) \cdot (-\frac{7}{23}) $

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$ x > \frac{22 \cdot 7}{7 \cdot 23} $

Сократим дробь на 7:

$ x > \frac{22}{23} $.

Ответ: $ x > \frac{22}{23} $.

21. a) $0,2x > 3$;

б) $3x > 1,8$;

в) $-0,001x < 1$.

а)

Дано линейное неравенство:
$0,2x > 3$

Чтобы найти решение, необходимо выразить переменную $x$. Для этого разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $0,2$. Поскольку мы делим на положительное число ($0,2 > 0$), знак неравенства ($>$) сохраняется.

$x > \frac{3}{0,2}$

Вычислим значение дроби:
$\frac{3}{0,2} = \frac{3 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, решение неравенства:
$x > 15$

Ответ: $x > 15$.

б)

Дано линейное неравенство:
$3x > 1,8$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, равный $3$. Так как $3$ — положительное число, знак неравенства ($>$) не меняется.

$x > \frac{1,8}{3}$

Выполним деление:
$x > 0,6$

Ответ: $x > 0,6$.

в)

Дано линейное неравенство:
$-0,001x < 1$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, равный $-0,001$.
Важно: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в нашем случае знак $<$ меняется на $>$).

$x > \frac{1}{-0,001}$

Вычислим значение дроби:
$x > -1000$

Ответ: $x > -1000$.