Номер 20, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

20. а) $\frac{2}{3} x < \frac{5}{6}$;

б) $-\frac{4}{7} x > \frac{8}{7}$;

в) $-2x < 1\frac{1}{3}$;

г) $2\frac{1}{5} x > 3$;

д) $1\frac{1}{2} x > -2\frac{1}{2}$;

е) $-3\frac{2}{7} x < -3\frac{1}{7}$.

а) Исходное неравенство: $ \frac{2}{3}x < \frac{5}{6} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $ \frac{2}{3} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $ \frac{3}{2} $. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$ x < \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} $

$ x < \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 2} $

$ x < \frac{15}{12} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ x < \frac{5}{4} $.

Ответ: $ x < \frac{5}{4} $.

б) Исходное неравенство: $ -\frac{4}{7}x > \frac{8}{7} $.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $ -\frac{4}{7} $ (или умножим на обратную дробь $ -\frac{7}{4} $). При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`).

$ x < \frac{8}{7} \cdot (-\frac{7}{4}) $

$ x < -\frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 4} $

Сократим дробь на 7 и на 4:

$ x < -2 $.

Ответ: $ x < -2 $.

в) Исходное неравенство: $ -2x < 1\frac{1}{3} $.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $.

Неравенство принимает вид: $ -2x < \frac{4}{3} $.

Разделим обе части на -2. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`).

$ x > \frac{4/3}{-2} $

$ x > \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) $

$ x > -\frac{4}{6} $

Сократим дробь:

$ x > -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ x > -\frac{2}{3} $.

г) Исходное неравенство: $ 2\frac{1}{5}x > 3 $.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{11}{5}x > 3 $.

Умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $ \frac{5}{11} $. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$ x > 3 \cdot \frac{5}{11} $

$ x > \frac{15}{11} $.

Ответ: $ x > \frac{15}{11} $.

д) Исходное неравенство: $ 1\frac{1}{2}x > -2\frac{1}{2} $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $ и $ -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{3}{2}x > -\frac{5}{2} $.

Умножим обе части на $ \frac{2}{3} $. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$ x > -\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} $

$ x > -\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} $

Сократим дробь на 2:

$ x > -\frac{5}{3} $.

Ответ: $ x > -\frac{5}{3} $.

е) Исходное неравенство: $ -3\frac{2}{7}x < -3\frac{1}{7} $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ -3\frac{2}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{23}{7} $

$ -3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7} $

Неравенство принимает вид: $ -\frac{23}{7}x < -\frac{22}{7} $.

Умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $ -\frac{7}{23} $. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `<` на `>`).

$ x > (-\frac{22}{7}) \cdot (-\frac{7}{23}) $

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$ x > \frac{22 \cdot 7}{7 \cdot 23} $

Сократим дробь на 7:

$ x > \frac{22}{23} $.

Ответ: $ x > \frac{22}{23} $.