Номер 26, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

26. Постройте график линейной функции:

а) $y = x - 4;$

б) $y = 2x + 2;$

в) $y = -3x - 3;$

г) $y = 5x - 6;$

д) $y = -0.5x + 1.5;$

е) $y = 1\frac{1}{2}x - 0.3.$

С помощью графика определите интервал, на котором функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Для построения графика линейной функции вида $y = kx + b$ достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этому графику. Самый простой способ — найти точки пересечения с осями координат:

• Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставляем $x=0$ в уравнение и вычисляем $y$. Получаем точку с координатами $(0; b)$.

• Для нахождения точки пересечения с осью OX, подставляем $y=0$ в уравнение и решаем его относительно $x$. Получаем точку с координатами $(-\frac{b}{k}; 0)$.

Соединив эти две точки прямой линией, мы получаем искомый график. Далее, с помощью графика определяем интервалы знакопостоянства:

• Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси OX.

• Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси OX.

Точка пересечения с осью OX является границей между этими интервалами.

а) $y = x - 4$

Это линейная функция. Для построения графика найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0; -4).
При $y = 0$, $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$. Точка (4; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 4$. Так как угловой коэффициент $k=1>0$, функция возрастающая.
Следовательно, график находится выше оси OX при $x > 4$ и ниже оси OX при $x < 4$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (4; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 4)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (4; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 4)$.

б) $y = 2x + 2$

Это линейная функция. Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
При $y = 0$, $2x + 2 = 0$, откуда $2x = -2$, $x = -1$. Точка (-1; 0).
Проводим прямую через точки (0; 2) и (-1; 0). График пересекает ось OX в точке $x = -1$. Угловой коэффициент $k=2>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > -1$ и ниже оси OX при $x < -1$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-1; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -1)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-1; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -1)$.

в) $y = -3x - 3$

Это линейная функция. Найдем две точки для построения.
При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
При $y = 0$, $-3x - 3 = 0$, откуда $-3x = 3$, $x = -1$. Точка (-1; 0).
Проводим прямую через точки (0; -3) и (-1; 0). График пересекает ось OX в точке $x = -1$. Угловой коэффициент $k=-3<0$, функция убывающая.
График находится выше оси OX при $x < -1$ и ниже оси OX при $x > -1$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; -1)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-1; +\infty)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; -1)$, отрицательна при $x \in (-1; +\infty)$.

г) $y = 5x - 6$

Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 5 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка (0; -6).
При $y = 0$, $5x - 6 = 0$, откуда $5x = 6$, $x = \frac{6}{5} = 1.2$. Точка (1.2; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 1.2$. Угловой коэффициент $k=5>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > 1.2$ и ниже оси OX при $x < 1.2$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (1.2; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 1.2)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (1.2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 1.2)$.

д) $y = -0.5x + 1.5$

Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = -0.5 \cdot 0 + 1.5 = 1.5$. Точка (0; 1.5).
При $y = 0$, $-0.5x + 1.5 = 0$, откуда $0.5x = 1.5$, $x = 3$. Точка (3; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 3$. Угловой коэффициент $k=-0.5<0$, функция убывающая.
График находится выше оси OX при $x < 3$ и ниже оси OX при $x > 3$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 3)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (3; +\infty)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; 3)$, отрицательна при $x \in (3; +\infty)$.

е) $y = 1\frac{1}{2}x - 0.3$

Преобразуем уравнение к более удобному виду: $y = 1.5x - 0.3$.
Это линейная функция. Найдем две точки.
При $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 - 0.3 = -0.3$. Точка (0; -0.3).
При $y = 0$, $1.5x - 0.3 = 0$, откуда $1.5x = 0.3$, $x = \frac{0.3}{1.5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$. Точка (0.2; 0).
Проводим прямую через эти две точки. График пересекает ось OX в точке $x = 0.2$. Угловой коэффициент $k=1.5>0$, функция возрастающая.
График находится выше оси OX при $x > 0.2$ и ниже оси OX при $x < 0.2$.
Функция принимает положительные значения при $x \in (0.2; +\infty)$.
Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; 0.2)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (0.2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0.2)$.