Номер 29, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

29. Решите неравенство, используя график линейной функции:

а) $x + 2 > 0;$

б) $-x + 2 > 0;$

в) $2x - 1 < 0;$

г) $-2x - 1 < 0;$

д) $0.2x + 1 > 0;$

е) $-\frac{1}{3}x + 5 < 0;$

ж) $400x + 100 > 0;$

з) $200x - 500 > 0;$

и) $0.01x - 0.05 < 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x + 2 > 0$ с помощью графика, рассмотрим соответствующую линейную функцию $y = x + 2$. Графиком этой функции является прямая линия.

1. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке $y = 0$.
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$.

2. Определим направление наклона прямой. Угловой коэффициент $k = 1$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается.

3. Нам нужно найти значения $x$, для которых $x + 2 > 0$, то есть $y > 0$. Это соответствует части графика, которая расположена выше оси Ox.
Поскольку функция возрастающая и пересекает ось в точке $x = -2$, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -2$.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

б) Рассмотрим линейную функцию $y = -x + 2$, соответствующую неравенству $-x + 2 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-x + 2 = 0$
$x = 2$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. График идет "вниз" слева направо.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция убывающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

в) Рассмотрим линейную функцию $y = 2x - 1$, соответствующую неравенству $2x - 1 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция возрастающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$

г) Рассмотрим линейную функцию $y = -2x - 1$, соответствующую неравенству $-2x - 1 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-2x - 1 = 0$
$-2x = 1$
$x = -\frac{1}{2}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция убывающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$

д) Рассмотрим линейную функцию $y = 0,2x + 1$, соответствующую неравенству $0,2x + 1 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$0,2x + 1 = 0$
$0,2x = -1$
$x = -\frac{1}{0,2} = -5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-5, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 0,2$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -5$.
Ответ: $x \in (-5; +\infty)$

е) Рассмотрим линейную функцию $y = -\frac{1}{3}x + 5$, соответствующую неравенству $-\frac{1}{3}x + 5 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-\frac{1}{3}x + 5 = 0$
$5 = \frac{1}{3}x$
$x = 5 \cdot 3 = 15$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(15, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция убывающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > 15$.
Ответ: $x \in (15; +\infty)$

ж) Рассмотрим линейную функцию $y = 400x + 100$, соответствующую неравенству $400x + 100 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$400x + 100 = 0$
$400x = -100$
$x = -\frac{100}{400} = -\frac{1}{4}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{4}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 400$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$

з) Рассмотрим линейную функцию $y = 200x - 500$, соответствующую неравенству $200x - 500 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$200x - 500 = 0$
$200x = 500$
$x = \frac{500}{200} = \frac{5}{2} = 2,5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(2,5; 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 200$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > 2,5$.
Ответ: $x \in (2,5; +\infty)$

и) Рассмотрим линейную функцию $y = 0,01x - 0,05$, соответствующую неравенству $0,01x - 0,05 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$0,01x - 0,05 = 0$
$0,01x = 0,05$
$x = \frac{0,05}{0,01} = 5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(5, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 0,01$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция возрастающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x < 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$