Номер 28, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

28. Как можно решить неравенство первой степени с одним неизвестным, используя график линейной функции?

Решить неравенство первой степени с одним неизвестным с помощью графика линейной функции можно, связав это неравенство с поведением соответствующей функции. Любое такое неравенство можно привести к одному из видов: $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$ (где $a \neq 0$). Решение неравенства сводится к нахождению тех значений $x$, при которых график линейной функции $y = ax + b$ расположен выше или ниже оси абсцисс (оси Ox).

Алгоритм решения:

1. Приведение неравенства к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть так, чтобы справа остался ноль. Неравенство принимает вид $ax + b > 0$ (или с другим знаком: $<, \le, \ge$).
2. Построение графика функции. Рассматривается линейная функция $y = ax + b$, соответствующая левой части неравенства. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Удобнее всего находить точки пересечения с осями координат:
   • Точка пересечения с осью Ox (корень функции): находим значение $x$, при котором $y = 0$. Решаем уравнение $ax + b = 0$, откуда $x = -b/a$. Это точка с координатами $(-b/a, 0)$.
   • Точка пересечения с осью Oy: находим значение $y$, при котором $x = 0$. Получаем $y = a \cdot 0 + b = b$. Это точка с координатами $(0, b)$.
   Через эти две точки проводится прямая.
3. Анализ графика. По построенному графику определяются промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения:
   • Для решения неравенства $ax + b > 0$ ищут промежуток по оси Ox, на котором график функции $y = ax + b$ расположен выше оси Ox.
   • Для решения неравенства $ax + b < 0$ ищут промежуток по оси Ox, на котором график функции $y = ax + b$ расположен ниже оси Ox.
4. Запись ответа. Найденный промежуток значений $x$ записывается в виде неравенства или числового промежутка. Если неравенство нестрогое ($\le$ или $\ge$), то точка пересечения с осью Ox ($x = -b/a$) включается в ответ.

Пример:

Решим неравенство $3x - 6 > 0$ графическим методом.

1. Неравенство уже имеет стандартный вид.
2. Рассмотрим функцию $y = 3x - 6$. Это линейная функция, ее график — прямая.
3. Найдем точки для построения графика:
   • Пересечение с Ox: $y=0 \Rightarrow 3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.
   • Пересечение с Oy: $x=0 \Rightarrow y = 3 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
   Строим прямую через эти две точки. Так как коэффициент $a=3 > 0$, функция является возрастающей (прямая идет "вверх" слева направо).
4. Нам нужно решить неравенство $3x - 6 > 0$, то есть найти, при каких $x$ значение $y$ будет больше нуля. По графику видно, что прямая $y = 3x - 6$ находится выше оси Ox справа от точки пересечения, то есть при $x > 2$.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(2, +\infty)$.

Вывод:
Графический метод наглядно показывает, что решение линейного неравенства зависит от двух ключевых факторов:
1. Корня уравнения $ax+b=0$ (точки $x = -b/a$), который является границей промежутка.
2. Знака коэффициента $a$, который определяет, по какую сторону от корня функция положительна, а по какую — отрицательна. Если $a > 0$, функция возрастает, и $y > 0$ при $x > -b/a$. Если $a < 0$, функция убывает, и $y > 0$ при $x < -b/a$.

Ответ: Чтобы решить неравенство первой степени с одним неизвестным (например, $ax+b>0$) с помощью графика, необходимо: 1. Привести неравенство к стандартному виду. 2. Построить график соответствующей линейной функции $y = ax+b$. Для этого достаточно найти две точки, например, точки пересечения с осями координат: $(-b/a, 0)$ и $(0, b)$. 3. Определить, на каком промежутке оси $x$ график функции находится выше (для знака $>$ или $\ge$) или ниже (для знака < или $\le$) оси абсцисс. Этот промежуток и будет решением неравенства.