Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

28. Как можно решить неравенство первой степени с одним неизвестным, используя график линейной функции?

Решить неравенство первой степени с одним неизвестным с помощью графика линейной функции можно, связав это неравенство с поведением соответствующей функции. Любое такое неравенство можно привести к одному из видов: $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$ (где $a \neq 0$). Решение неравенства сводится к нахождению тех значений $x$, при которых график линейной функции $y = ax + b$ расположен выше или ниже оси абсцисс (оси Ox).

Алгоритм решения:

1. Приведение неравенства к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть так, чтобы справа остался ноль. Неравенство принимает вид $ax + b > 0$ (или с другим знаком: $<, \le, \ge$).
2. Построение графика функции. Рассматривается линейная функция $y = ax + b$, соответствующая левой части неравенства. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек. Удобнее всего находить точки пересечения с осями координат:
   • Точка пересечения с осью Ox (корень функции): находим значение $x$, при котором $y = 0$. Решаем уравнение $ax + b = 0$, откуда $x = -b/a$. Это точка с координатами $(-b/a, 0)$.
   • Точка пересечения с осью Oy: находим значение $y$, при котором $x = 0$. Получаем $y = a \cdot 0 + b = b$. Это точка с координатами $(0, b)$.
   Через эти две точки проводится прямая.
3. Анализ графика. По построенному графику определяются промежутки, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения:
   • Для решения неравенства $ax + b > 0$ ищут промежуток по оси Ox, на котором график функции $y = ax + b$ расположен выше оси Ox.
   • Для решения неравенства $ax + b < 0$ ищут промежуток по оси Ox, на котором график функции $y = ax + b$ расположен ниже оси Ox.
4. Запись ответа. Найденный промежуток значений $x$ записывается в виде неравенства или числового промежутка. Если неравенство нестрогое ($\le$ или $\ge$), то точка пересечения с осью Ox ($x = -b/a$) включается в ответ.

Пример:

Решим неравенство $3x - 6 > 0$ графическим методом.

1. Неравенство уже имеет стандартный вид.
2. Рассмотрим функцию $y = 3x - 6$. Это линейная функция, ее график — прямая.
3. Найдем точки для построения графика:
   • Пересечение с Ox: $y=0 \Rightarrow 3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2, 0)$.
   • Пересечение с Oy: $x=0 \Rightarrow y = 3 \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
   Строим прямую через эти две точки. Так как коэффициент $a=3 > 0$, функция является возрастающей (прямая идет "вверх" слева направо).
4. Нам нужно решить неравенство $3x - 6 > 0$, то есть найти, при каких $x$ значение $y$ будет больше нуля. По графику видно, что прямая $y = 3x - 6$ находится выше оси Ox справа от точки пересечения, то есть при $x > 2$.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(2, +\infty)$.

Вывод:
Графический метод наглядно показывает, что решение линейного неравенства зависит от двух ключевых факторов:
1. Корня уравнения $ax+b=0$ (точки $x = -b/a$), который является границей промежутка.
2. Знака коэффициента $a$, который определяет, по какую сторону от корня функция положительна, а по какую — отрицательна. Если $a > 0$, функция возрастает, и $y > 0$ при $x > -b/a$. Если $a < 0$, функция убывает, и $y > 0$ при $x < -b/a$.

Ответ: Чтобы решить неравенство первой степени с одним неизвестным (например, $ax+b>0$) с помощью графика, необходимо: 1. Привести неравенство к стандартному виду. 2. Построить график соответствующей линейной функции $y = ax+b$. Для этого достаточно найти две точки, например, точки пересечения с осями координат: $(-b/a, 0)$ и $(0, b)$. 3. Определить, на каком промежутке оси $x$ график функции находится выше (для знака $>$ или $\ge$) или ниже (для знака < или $\le$) оси абсцисс. Этот промежуток и будет решением неравенства.

29. Решите неравенство, используя график линейной функции:

а) $x + 2 > 0;$

б) $-x + 2 > 0;$

в) $2x - 1 < 0;$

г) $-2x - 1 < 0;$

д) $0.2x + 1 > 0;$

е) $-\frac{1}{3}x + 5 < 0;$

ж) $400x + 100 > 0;$

з) $200x - 500 > 0;$

и) $0.01x - 0.05 < 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x + 2 > 0$ с помощью графика, рассмотрим соответствующую линейную функцию $y = x + 2$. Графиком этой функции является прямая линия.

1. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке $y = 0$.
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$.

2. Определим направление наклона прямой. Угловой коэффициент $k = 1$. Так как $k > 0$, функция возрастает. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается.

3. Нам нужно найти значения $x$, для которых $x + 2 > 0$, то есть $y > 0$. Это соответствует части графика, которая расположена выше оси Ox.
Поскольку функция возрастающая и пересекает ось в точке $x = -2$, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -2$.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

б) Рассмотрим линейную функцию $y = -x + 2$, соответствующую неравенству $-x + 2 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-x + 2 = 0$
$x = 2$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. График идет "вниз" слева направо.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция убывающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

в) Рассмотрим линейную функцию $y = 2x - 1$, соответствующую неравенству $2x - 1 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция возрастающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$

г) Рассмотрим линейную функцию $y = -2x - 1$, соответствующую неравенству $-2x - 1 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-2x - 1 = 0$
$-2x = 1$
$x = -\frac{1}{2}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция убывающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения с осью Ox.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$

д) Рассмотрим линейную функцию $y = 0,2x + 1$, соответствующую неравенству $0,2x + 1 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$0,2x + 1 = 0$
$0,2x = -1$
$x = -\frac{1}{0,2} = -5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-5, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 0,2$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -5$.
Ответ: $x \in (-5; +\infty)$

е) Рассмотрим линейную функцию $y = -\frac{1}{3}x + 5$, соответствующую неравенству $-\frac{1}{3}x + 5 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$-\frac{1}{3}x + 5 = 0$
$5 = \frac{1}{3}x$
$x = 5 \cdot 3 = 15$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(15, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция убывающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > 15$.
Ответ: $x \in (15; +\infty)$

ж) Рассмотрим линейную функцию $y = 400x + 100$, соответствующую неравенству $400x + 100 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$400x + 100 = 0$
$400x = -100$
$x = -\frac{100}{400} = -\frac{1}{4}$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{4}, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 400$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$

з) Рассмотрим линейную функцию $y = 200x - 500$, соответствующую неравенству $200x - 500 > 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$200x - 500 = 0$
$200x = 500$
$x = \frac{500}{200} = \frac{5}{2} = 2,5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(2,5; 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 200$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y > 0$ (график выше оси Ox).
Так как функция возрастающая, ее значения будут положительны для всех $x$, находящихся правее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x > 2,5$.
Ответ: $x \in (2,5; +\infty)$

и) Рассмотрим линейную функцию $y = 0,01x - 0,05$, соответствующую неравенству $0,01x - 0,05 < 0$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$0,01x - 0,05 = 0$
$0,01x = 0,05$
$x = \frac{0,05}{0,01} = 5$
Прямая пересекает ось Ox в точке $(5, 0)$.

2. Угловой коэффициент $k = 0,01$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.

3. Мы ищем значения $x$, для которых $y < 0$ (график ниже оси Ox).
Поскольку функция возрастающая, ее значения будут отрицательны для всех $x$, находящихся левее точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства — это $x < 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$