Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (34-41):

34. а) $x + 4 > 5x;$

б) $x - 2 < 3x;$

в) $2x + 1 < x;$

г) $7x - 13 > 9x.$

а) Решим неравенство $x + 4 > 5x$.
Для решения линейного неравенства перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть неравенства, а свободные члены (числа) — в другую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
Перенесем $x$ в правую часть:
$4 > 5x - x$
Приведем подобные слагаемые:
$4 > 4x$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 4. Поскольку мы делим на положительное число (4 > 0), знак неравенства не меняется.
$\frac{4}{4} > \frac{4x}{4}$
$1 > x$
Запишем решение в более привычном виде:
$x < 1$
Решением неравенства является интервал от минус бесконечности до 1, не включая 1.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) Решим неравенство $x - 2 < 3x$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые оставим в левой.
$-2 < 3x - x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-2 < 2x$
Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется, так как 2 — положительное число.
$\frac{-2}{2} < \frac{2x}{2}$
$-1 < x$
Это означает, что $x$ больше -1.
Решением является интервал от -1 до плюс бесконечности, не включая -1.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

в) Решим неравенство $2x + 1 < x$.
Перенесем слагаемое $x$ из правой части в левую, а слагаемое 1 — из левой в правую, изменив их знаки.
$2x - x < -1$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x < -1$
Решение уже получено. Это все числа, которые меньше -1.
Решением является интервал от минус бесконечности до -1, не включая -1.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

г) Решим неравенство $7x - 13 > 9x$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые оставим в левой.
$-13 > 9x - 7x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-13 > 2x$
Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется.
$\frac{-13}{2} > \frac{2x}{2}$
$-\frac{13}{2} > x$
Можно представить дробь в виде десятичного числа: $-6.5 > x$.
Запишем решение в стандартном виде:
$x < -6.5$
Решением является интервал от минус бесконечности до -6.5, не включая -6.5.
Ответ: $x \in (-\infty; -6.5)$.

35. a) $2x - x - 1 < 2$;

б) $3 < 7x - 5 - 4x$;

в) $5x - 2x - 8x + x - 12x > 7 - 2x$;

г) $8 - 9x > x - 3 - 3x + 4x + 15$.

а) $2x - x - 1 < 2$

Сначала упростим левую часть неравенства, приведя подобные слагаемые.

$2x - x = x$

Неравенство принимает вид:

$x - 1 < 2$

Теперь перенесем -1 в правую часть, изменив знак на противоположный (это эквивалентно прибавлению 1 к обеим частям неравенства):

$x < 2 + 1$

$x < 3$

Ответ: $x < 3$

б) $3 < 7x - 5 - 4x$

Упростим правую часть неравенства, приведя подобные слагаемые.

$7x - 4x = 3x$

Неравенство принимает вид:

$3 < 3x - 5$

Перенесем свободный член -5 из правой части в левую с противоположным знаком:

$3 + 5 < 3x$

$8 < 3x$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{8}{3} < x$

Запишем решение в более привычном виде:

$x > \frac{8}{3}$

Ответ: $x > \frac{8}{3}$

в) $5x - 2x - 8x + x - 12x > 7 - 2x$

Упростим левую часть неравенства, приведя подобные слагаемые:

$(5 - 2 - 8 + 1 - 12)x = -16x$

Неравенство принимает вид:

$-16x > 7 - 2x$

Перенесем $-2x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-16x + 2x > 7$

$-14x > 7$

Разделим обе части неравенства на -14. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{7}{-14}$

$x < -\frac{1}{2}$

Ответ: $x < -\frac{1}{2}$

г) $8 - 9x > x - 3 - 3x + 4x + 15$

Сначала упростим правую часть неравенства, приведя подобные слагаемые.

Слагаемые с переменной: $x - 3x + 4x = (1 - 3 + 4)x = 2x$

Свободные члены: $-3 + 15 = 12$

Неравенство принимает вид:

$8 - 9x > 2x + 12$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки при переносе:

$-9x - 2x > 12 - 8$

$-11x > 4$

Разделим обе части неравенства на -11. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{4}{-11}$

$x < -\frac{4}{11}$

Ответ: $x < -\frac{4}{11}$

36. a) $x - 2 < x$;

б) $x + 5 > x$;

в) $6 - 3x > 1 - 3x$;

г) $12 + 4x < 3 - x + 5x$.

а) Дано неравенство $x - 2 < x$.
Для решения перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.
$x - x < 2$
Приводим подобные слагаемые в левой части:
$0 \cdot x < 2$
$0 < 2$
В результате мы получили верное числовое неравенство $0 < 2$, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство будет верным при любом значении $x$.
Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Дано неравенство $x + 5 > x$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, например, в левую:
$x - x > -5$
Упрощаем левую часть:
$0 \cdot x > -5$
$0 > -5$
Мы получили верное числовое неравенство $0 > -5$. Так как это утверждение истинно и не зависит от $x$, исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Дано неравенство $6 - 3x > 1 - 3x$.
Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой части неравенства:
$-3x + 3x > 1 - 6$
Приводим подобные слагаемые в обеих частях:
$0 \cdot x > -5$
$0 > -5$
Полученное верное числовое неравенство $0 > -5$ показывает, что исходное неравенство выполняется для любого значения переменной $x$.
Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $12 + 4x < 3 - x + 5x$.
Сначала упростим правую часть неравенства, приведя подобные слагаемые:
$12 + 4x < 3 + (5x - x)$
$12 + 4x < 3 + 4x$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 4x < 3 - 12$
Упрощаем обе части неравенства:
$0 \cdot x < -9$
$0 < -9$
Мы получили неверное числовое неравенство $0 < -9$, так как ноль больше любого отрицательного числа. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное неравенство было бы верным.
Ответ: нет решений, или $x \in \emptyset$.

37. а) $x + 2 < x;$

б) $x - 5 > x;$

в) $4 - 8x < -8x + 4;$

г) $x - 3 + 2x < 4 + 3x - 1.$

а) $x + 2 < x$
Чтобы решить это неравенство, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а свободные члены — в другую. Перенесем $x$ из левой части в правую (или наоборот).
$2 < x - x$
$2 < 0$
Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что ни при каком значении $x$ исходное неравенство не может быть верным.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

б) $x - 5 > x$
Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем члены с $x$ в одной части неравенства.
$x - x > 5$
$0 > 5$
Полученное числовое неравенство является неверным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

в) $4 - 8x < -8x + 4$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую.
$-8x + 8x < 4 - 4$
$0 \cdot x < 0$
$0 < 0$
Это строгое неравенство, и оно является неверным (ноль не может быть меньше самого себя). Так как результат не зависит от $x$ и является ложным утверждением, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

г) $x - 3 + 2x < 4 + 3x - 1$
Сначала упростим обе части неравенства, приведя подобные слагаемые.
В левой части: $x + 2x - 3 = 3x - 3$
В правой части: $4 - 1 + 3x = 3 + 3x$
Неравенство принимает вид:
$3x - 3 < 3 + 3x$
Теперь перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.
$3x - 3x < 3 + 3$
$0 \cdot x < 6$
$0 < 6$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство будет верным при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x$ — любое число (или $x \in (-\infty; +\infty)$).

38. a) $\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 > \frac{1}{3}x - 1$;

б) $\frac{1}{2}x - 3 < 2 - \frac{1}{3}x$;

в) $1 - \frac{3}{7}x - 5 < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$;

г) $2x - \frac{3}{5}x > 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$;

д) $\frac{2}{5}x - 1 < \frac{3}{4}x - \frac{13}{20}$;

е) $3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x < 14 + \frac{1}{12}x$.

а) $\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 > \frac{1}{3}x - 1$

Для решения неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.
$\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}x > -1 - 5$
Теперь приведем дроби с переменной $x$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 4, 6 и 3 равно 12. В правой части выполним вычитание.
$\frac{3 \cdot 1}{12}x - \frac{2 \cdot 1}{12}x - \frac{4 \cdot 1}{12}x > -6$
$\frac{3}{12}x - \frac{2}{12}x - \frac{4}{12}x > -6$
Выполним действия с коэффициентами при $x$:
$\frac{3 - 2 - 4}{12}x > -6$
$-\frac{3}{12}x > -6$
Сократим дробь $-\frac{3}{12}$ на 3:
$-\frac{1}{4}x > -6$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (">" на "<").
$x < (-6) \cdot (-4)$
$x < 24$

Ответ: $x \in (-\infty; 24)$

б) $\frac{1}{2}x - 3 < 2 - \frac{1}{3}x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x < 2 + 3$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6 и сложим числа в правой части:
$\frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x < 5$
$\frac{5}{6}x < 5$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{6}{5}$ (число положительное, поэтому знак неравенства не меняется):
$x < 5 \cdot \frac{6}{5}$
$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

в) $1 - \frac{3}{7}x - 5 < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$

Сначала упростим левую часть, сгруппировав числовые члены: $1 - 5 = -4$.
$-4 - \frac{3}{7}x < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-\frac{3}{7}x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{21}x < 6 + 4$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 21:
$-\frac{3 \cdot 3}{21}x + \frac{1 \cdot 7}{21}x + \frac{2}{21}x < 10$
$-\frac{9}{21}x + \frac{7}{21}x + \frac{2}{21}x < 10$
Сложим коэффициенты при $x$:
$\frac{-9 + 7 + 2}{21}x < 10$
$\frac{0}{21}x < 10$
$0 \cdot x < 10$
$0 < 10$
Полученное неравенство $0 < 10$ является верным числовым неравенством. Оно не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

г) $2x - \frac{3}{5}x > 1\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$2x - \frac{3}{5}x > \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$2x - \frac{3}{5}x - \frac{3}{2}x + \frac{2}{5}x > 2 - \frac{1}{2}$
Сгруппируем и упростим подобные слагаемые в каждой части неравенства.
В левой части: $(2 - \frac{3}{5} - \frac{3}{2} + \frac{2}{5})x$. В правой части: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$(2 - \frac{1}{5} - \frac{3}{2})x > \frac{3}{2}$
Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю 10:
$(\frac{20}{10} - \frac{2}{10} - \frac{15}{10})x > \frac{3}{2}$
$\frac{20 - 2 - 15}{10}x > \frac{3}{2}$
$\frac{3}{10}x > \frac{3}{2}$
Умножим обе части на $\frac{10}{3}$ (положительное число, знак не меняется):
$x > \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{3}$
$x > \frac{30}{6}$
$x > 5$

Ответ: $x \in (5; +\infty)$

д) $\frac{2}{5}x - 1 < -\frac{3}{4}x - \frac{13}{20}$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа вправо:
$\frac{2}{5}x + \frac{3}{4}x < 1 - \frac{13}{20}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 20. В правой части представим 1 как $\frac{20}{20}$ и выполним вычитание.
$\frac{2 \cdot 4}{20}x + \frac{3 \cdot 5}{20}x < \frac{20}{20} - \frac{13}{20}$
$\frac{8}{20}x + \frac{15}{20}x < \frac{7}{20}$
Сложим коэффициенты при $x$:
$\frac{23}{20}x < \frac{7}{20}$
Умножим обе части неравенства на 20, чтобы избавиться от знаменателей:
$23x < 7$
Разделим обе части на 23:
$x < \frac{7}{23}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{23})$

е) $3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x < 14 + \frac{1}{12}x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}x < 14 - 3$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 12 и упростим правую часть:
$-\frac{3}{12}x + \frac{4}{12}x - \frac{1}{12}x < 11$
Сложим коэффициенты при $x$ в левой части:
$\frac{-3 + 4 - 1}{12}x < 11$
$\frac{0}{12}x < 11$
$0 \cdot x < 11$
$0 < 11$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

39. а) $1,2 - 2,6x - 5 > 3,2x - 3;$

б) $x - 1,2 < 0,3x + 3,7;$

в) $7 - 0,2x < 21,28 - 1,6x;$

г) $0,8x + 0,12 - 0,3x > 76,2 - 0,1x + 0,6x;$

д) $1,52 - 2,8x < 1,72 - 5,2x;$

е) $0,014 - 12,5x > 1,25 - 0,5x + 1,086 - 12x.$

а) $1,2 - 2,6x - 5 > 3,2x - 3$

Сначала упростим левую часть неравенства, объединив свободные члены:

$1,2 - 5 = -3,8$

Неравенство принимает вид:

$-3,8 - 2,6x > 3,2x - 3$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, перенесем $-2,6x$ вправо, а $-3$ влево, изменив их знаки при переносе:

$-3,8 + 3 > 3,2x + 2,6x$

Выполним сложение в обеих частях:

$-0,8 > 5,8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $5,8$. Так как $5,8$ — положительное число, знак неравенства не меняется. Для удобства можно записать неравенство наоборот:

$5,8x < -0,8$

$x < -\frac{0,8}{5,8}$

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 10, а затем сократив:

$x < -\frac{8}{58} = -\frac{4}{29}$

Ответ: $x \in (-\infty; -4/29)$

б) $x - 1,2 < 0,3x + 3,7$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки при переносе:

$x - 0,3x < 3,7 + 1,2$

Упростим обе части неравенства:

$0,7x < 4,9$

Разделим обе части на $0,7$. Так как $0,7 > 0$, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{4,9}{0,7}$

$x < 7$

Ответ: $x \in (-\infty; 7)$

в) $7 - 0,2x < 21,28 - 1,6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-0,2x + 1,6x < 21,28 - 7$

Упростим обе части неравенства:

$1,4x < 14,28$

Разделим обе части на $1,4$. Знак неравенства не меняется:

$x < \frac{14,28}{1,4}$

$x < 10,2$

Ответ: $x \in (-\infty; 10,2)$

г) $0,8x + 0,12 - 0,3x > 76,2 - 0,1x + 0,6x$

Сначала упростим обе части неравенства, сгруппировав подобные слагаемые:

Левая часть: $(0,8x - 0,3x) + 0,12 = 0,5x + 0,12$

Правая часть: $76,2 + (-0,1x + 0,6x) = 76,2 + 0,5x$

Неравенство принимает вид:

$0,5x + 0,12 > 76,2 + 0,5x$

Перенесем $0,5x$ из правой части в левую:

$0,5x - 0,5x + 0,12 > 76,2$

$0 \cdot x + 0,12 > 76,2$

$0,12 > 76,2$

Полученное неравенство является ложным, так как $0,12$ не больше $76,2$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

д) $1,52 - 2,8x < 1,72 - 5,2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-2,8x + 5,2x < 1,72 - 1,52$

Упростим обе части:

$2,4x < 0,2$

Разделим обе части на $2,4$. Знак неравенства не меняется:

$x < \frac{0,2}{2,4}$

Упростим дробь:

$x < \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

Ответ: $x \in (-\infty; 1/12)$

е) $0,014 - 12,5x > 1,25 - 0,5x + 1,086 - 12x$

Сначала упростим правую часть неравенства, сгруппировав подобные слагаемые:

Свободные члены: $1,25 + 1,086 = 2,336$

Слагаемые с $x$: $-0,5x - 12x = -12,5x$

Неравенство принимает вид:

$0,014 - 12,5x > 2,336 - 12,5x$

Перенесем $-12,5x$ из правой части в левую:

$0,014 - 12,5x + 12,5x > 2,336$

$0,014 > 2,336$

Полученное неравенство является ложным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

40. a) $2x + (3x - 1) > 4;$

б) $x - 16 < (5 - 2x) - x - 1;$

в) $2x - (x - 1) < 3;$

г) $(2x - 3) - (x + 1) > 1;$

д) $(x + 1) - (2x + 3) - (1 - 7x) < x - (8 - 5x);$

e) $(3x - 11) - (5 - 9x) + (x - 1) > 1 - 4x - (12 + x).$

а) $2x + (3x - 1) > 4$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x + 3x - 1 > 4$

Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$5x - 1 > 4$

Теперь перенесем постоянный член (-1) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x > 4 + 1$

$5x > 5$

Разделим обе части неравенства на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства не меняется):

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

б) $x - 16 < (5 - 2x) - x - 1$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:

$x - 16 < 5 - 2x - x - 1$

$x - 16 < (5 - 1) + (-2x - x)$

$x - 16 < 4 - 3x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$x + 3x < 4 + 16$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$4x < 20$

Разделим обе части на 4:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$

в) $2x - (x - 1) < 3$

Раскроем скобки в левой части (помним, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее):

$2x - x + 1 < 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 1 < 3$

Перенесем 1 в правую часть со сменой знака:

$x < 3 - 1$

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

г) $(2x - 3) - (x + 1) > 1$

Раскроем скобки в левой части:

$2x - 3 - x - 1 > 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x - x) + (-3 - 1) > 1$

$x - 4 > 1$

Перенесем -4 в правую часть:

$x > 1 + 4$

$x > 5$

Ответ: $x \in (5; +\infty)$

д) $(x + 1) - (2x + 3) - (1 - 7x) < x - (8 - 5x)$

Раскроем все скобки в обеих частях неравенства:

$x + 1 - 2x - 3 - 1 + 7x < x - 8 + 5x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части отдельно:

$(x - 2x + 7x) + (1 - 3 - 1) < (x + 5x) - 8$

$6x - 3 < 6x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 6x < -8 + 3$

$0 < -5$

Мы получили неверное числовое неравенство (0 не меньше -5). Это означает, что исходное неравенство не имеет решений ни при каких значениях $x$.

Ответ: нет решений

е) $(3x - 11) - (5 - 9x) + (x - 1) > 1 - 4x - (12 + x)$

Раскроем все скобки:

$3x - 11 - 5 + 9x + x - 1 > 1 - 4x - 12 - x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(3x + 9x + x) + (-11 - 5 - 1) > (-4x - x) + (1 - 12)$

$13x - 17 > -5x - 11$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а постоянные члены вправо:

$13x + 5x > -11 + 17$

$18x > 6$

Разделим обе части на 18:

$x > \frac{6}{18}$

Сократим дробь:

$x > \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$

41. а) $2(x-1) < 4;$

б) $3(2x-1) > 12;$

в) $4(1+x) < 8-4x;$

г) $25-10x > -5(2x-7).$

а) Исходное неравенство: $2(x - 1) < 4$.
Для решения данного линейного неравенства можно сначала разделить обе его части на положительное число 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.
$\frac{2(x - 1)}{2} < \frac{4}{2}$
$x - 1 < 2$
Теперь, чтобы выразить $x$, прибавим 1 к обеим частям неравенства (это эквивалентно переносу -1 в правую часть с изменением знака).
$x < 2 + 1$
$x < 3$
Решением неравенства являются все действительные числа, которые строго меньше 3. Это можно записать в виде числового промежутка.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б) Исходное неравенство: $3(2x - 1) > 12$.
Разделим обе части неравенства на положительное число 3, при этом знак неравенства сохранится.
$\frac{3(2x - 1)}{3} > \frac{12}{3}$
$2x - 1 > 4$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$.
$2x > 4 + 1$
$2x > 5$
Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится.
$x > \frac{5}{2}$
Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $x > 2.5$.
Решением неравенства являются все действительные числа, большие 2.5.
Ответ: $x \in (2.5; +\infty)$.

В) Исходное неравенство: $4(1 + x) < 8 - 4x$.
Сначала раскроем скобки в левой части, умножив множитель 4 на каждое слагаемое в скобках.
$4 \cdot 1 + 4 \cdot x < 8 - 4x$
$4 + 4x < 8 - 4x$
Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а постоянные члены (числа) — в правой. Для этого прибавим $4x$ к обеим частям и вычтем 4 из обеих частей.
$4x + 4x < 8 - 4$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$8x < 4$
Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент при $x$, то есть на 8.
$x < \frac{4}{8}$
Сократим полученную дробь:
$x < \frac{1}{2}$
Решением являются все действительные числа, меньшие 0.5.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

Г) Исходное неравенство: $25 - 10x > -5(2x - 7)$.
Раскроем скобки в правой части неравенства. Умножим -5 на каждый член в скобках, обращая внимание на знаки.
$25 - 10x > (-5) \cdot 2x + (-5) \cdot (-7)$
$25 - 10x > -10x + 35$
Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. Для этого прибавим $10x$ к обеим частям и вычтем 25 из обеих частей.
$-10x + 10x > 35 - 25$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$0 \cdot x > 10$
$0 > 10$
В результате преобразований мы получили неверное числовое неравенство, которое не содержит переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство неверно при любом значении $x$. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

42. Доказываем. Докажите, что данное неравенство равносильно линейному неравенству, и найдите все его решения:

a) $x(2 - x) < (3 - x)(3 + x)$;

б) $3(x - 1)(x + 1) > 3(1 + x^2)$;

в) $(x - 2)(x - 3) + (4 - x)(x + 2) > 0$;

г) $(2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) > 0.$

а)Исходное неравенство: $x(2 - x) < (3 - x)(3 + x)$.
Для доказательства равносильности линейному неравенству и нахождения решений, упростим данное неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.
В левой части: $x(2 - x) = 2x - x^2$.
В правой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(3 - x)(3 + x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$.
Неравенство принимает вид: $2x - x^2 < 9 - x^2$.
Прибавим к обеим частям неравенства $x^2$:
$2x - x^2 + x^2 < 9 - x^2 + x^2$
$2x < 9$
Мы видим, что квадратичные члены взаимно уничтожились, и мы получили линейное неравенство. Это доказывает, что исходное неравенство равносильно линейному. Теперь найдем его решение.
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{9}{2}$
$x < 4.5$
Решение в виде интервала: $(-\infty; 4.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4.5)$

б)Исходное неравенство: $3(x - 1)(x + 1) > 3(1 + x^2)$.
Упростим неравенство. Разделим обе части на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется):
$(x - 1)(x + 1) > 1 + x^2$
В левой части применим формулу разности квадратов:
$x^2 - 1 > 1 + x^2$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x^2 - x^2 > 1 + 1$
$0 > 2$
Квадратичные члены сократились, и мы получили неверное числовое неравенство $0 > 2$, которое является частным случаем линейного неравенства (можно записать как $0 \cdot x > 2$). Это доказывает, что исходное неравенство равносильно линейному. Так как полученное неравенство ложно при любом значении $x$, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет

в)Исходное неравенство: $(x - 2)(x - 3) + (4 - x)(x + 2) > 0$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$(x^2 - 3x - 2x + 6) + (4x + 8 - x^2 - 2x) > 0$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(x^2 - 5x + 6) + (-x^2 + 2x + 8) > 0$
Теперь раскроем скобки и снова приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 2x + 8 > 0$
$(x^2 - x^2) + (-5x + 2x) + (6 + 8) > 0$
$-3x + 14 > 0$
Квадратичные члены взаимно уничтожились, и мы получили линейное неравенство. Это доказывает равносильность. Решим его:
$-3x > -14$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-14}{-3}$
$x < \frac{14}{3}$
Решение в виде интервала: $(-\infty; \frac{14}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{14}{3})$

г)Исходное неравенство: $(2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) > 0$.
Раскроем скобки:
Первое произведение: $(2x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$.
Второе произведение: $(x - 5)(2x + 1) = 2x^2 + x - 10x - 5 = 2x^2 - 9x - 5$.
Подставим результаты в неравенство:
$(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 - 9x - 5) > 0$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 + 9x + 5 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 2x^2) + (3x + 9x) + (-2 + 5) > 0$
$12x + 3 > 0$
Квадратичные члены сократились, и мы получили линейное неравенство, что и требовалось доказать. Решим его:
$12x > -3$
$x > -\frac{3}{12}$
$x > -\frac{1}{4}$
Решение в виде интервала: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$

43. Решите неравенство:

a) $\frac{x-1}{3} < 1;$

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2;$

в) $\frac{2x}{3} < \frac{x}{4} - 1;$

г) $\frac{3x}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2x}{3} > 8;$

д) $\frac{x-4}{5} > 2 - \frac{x}{3};$

е) $\frac{2x+1}{4} + 2 < \frac{3x+2}{3};$

ж) $\frac{x-1}{2} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} + \frac{x-2}{3};$

з) $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + 2\frac{1}{12}x.$

а) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{3} < 1$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$3 \cdot \frac{x-1}{3} < 3 \cdot 1$
$x - 1 < 3$
Перенесем -1 в правую часть, изменив знак на противоположный:
$x < 3 + 1$
$x < 4$
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} > 2$
$\frac{3x-2x}{6} > 2$
$\frac{x}{6} > 2$
Умножим обе части неравенства на 6:
$x > 12$
Ответ: $x \in (12; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{2x}{3} < \frac{x}{4} - 1$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть неравенства:
$\frac{2x}{3} - \frac{x}{4} < -1$
Найдем общий знаменатель для 3 и 4, это 12. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{4 \cdot 2x}{12} - \frac{3 \cdot x}{12} < -1$
$\frac{8x-3x}{12} < -1$
$\frac{5x}{12} < -1$
Умножим обе части на 12:
$5x < -12$
Разделим обе части на 5:
$x < -\frac{12}{5}$
$x < -2.4$
Ответ: $x \in (-\infty; -2.4)$.

г) Исходное неравенство: $\frac{3x}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2x}{3} > 8$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 6 и 3, это 6. Умножим все члены неравенства на 6:
$6 \cdot \frac{3x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{6} - 6 \cdot \frac{2x}{3} > 6 \cdot 8$
$3 \cdot 3x + x - 2 \cdot 2x > 48$
$9x + x - 4x > 48$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$6x > 48$
Разделим обе части на 6:
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

д) Исходное неравенство: $\frac{x-4}{5} > 2 - \frac{x}{3}$.
Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую:
$\frac{x-4}{5} + \frac{x}{3} > 2$
Найдем общий знаменатель для 5 и 3, это 15. Умножим все неравенство на 15:
$15 \cdot \frac{x-4}{5} + 15 \cdot \frac{x}{3} > 15 \cdot 2$
$3(x-4) + 5x > 30$
Раскроем скобки:
$3x - 12 + 5x > 30$
Приведем подобные слагаемые:
$8x - 12 > 30$
Перенесем -12 в правую часть:
$8x > 30 + 12$
$8x > 42$
Разделим обе части на 8:
$x > \frac{42}{8}$
Сократим дробь: $x > \frac{21}{4}$ или $x > 5.25$.
Ответ: $x \in (5.25; +\infty)$.

е) Исходное неравенство: $\frac{2x+1}{4} + 2 < \frac{3x+2}{3}$.
Найдем общий знаменатель для 4 и 3, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{2x+1}{4} + 12 \cdot 2 < 12 \cdot \frac{3x+2}{3}$
$3(2x+1) + 24 < 4(3x+2)$
Раскроем скобки:
$6x + 3 + 24 < 12x + 8$
$6x + 27 < 12x + 8$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а свободные члены — в левой:
$27 - 8 < 12x - 6x$
$19 < 6x$
Разделим обе части на 6:
$\frac{19}{6} < x$
$x > \frac{19}{6}$
Ответ: $x \in (\frac{19}{6}; +\infty)$.

ж) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{2} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} + \frac{x-2}{3}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 4, 6, 3, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{x-1}{2} - 12 \cdot \frac{x}{4} < 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot \frac{x-2}{3}$
$6(x-1) - 3x < 2x + 4(x-2)$
Раскроем скобки:
$6x - 6 - 3x < 2x + 4x - 8$
Упростим обе части неравенства:
$3x - 6 < 6x - 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены в левую:
$8 - 6 < 6x - 3x$
$2 < 3x$
Разделим обе части на 3:
$\frac{2}{3} < x$
$x > \frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

з) Исходное неравенство: $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + 2\frac{1}{12}x$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{7x-2}{4} > 1 - \frac{x-1}{3} + \frac{25x}{12}$.
Найдем общий знаменатель для 4, 3 и 12, это 12. Умножим все неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{7x-2}{4} > 12 \cdot 1 - 12 \cdot \frac{x-1}{3} + 12 \cdot \frac{25x}{12}$
$3(7x-2) > 12 - 4(x-1) + 25x$
Раскроем скобки:
$21x - 6 > 12 - 4x + 4 + 25x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$21x - 6 > (12+4) + (-4x+25x)$
$21x - 6 > 16 + 21x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$21x - 21x > 16 + 6$
$0 \cdot x > 22$
$0 > 22$
Полученное неравенство $0 > 22$ является ложным при любом значении $x$. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).