Номер 38, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

38. a) $\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 > \frac{1}{3}x - 1$;

б) $\frac{1}{2}x - 3 < 2 - \frac{1}{3}x$;

в) $1 - \frac{3}{7}x - 5 < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$;

г) $2x - \frac{3}{5}x > 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$;

д) $\frac{2}{5}x - 1 < \frac{3}{4}x - \frac{13}{20}$;

е) $3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x < 14 + \frac{1}{12}x$.

а) $\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 > \frac{1}{3}x - 1$

Для решения неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.
$\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x - \frac{1}{3}x > -1 - 5$
Теперь приведем дроби с переменной $x$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 4, 6 и 3 равно 12. В правой части выполним вычитание.
$\frac{3 \cdot 1}{12}x - \frac{2 \cdot 1}{12}x - \frac{4 \cdot 1}{12}x > -6$
$\frac{3}{12}x - \frac{2}{12}x - \frac{4}{12}x > -6$
Выполним действия с коэффициентами при $x$:
$\frac{3 - 2 - 4}{12}x > -6$
$-\frac{3}{12}x > -6$
Сократим дробь $-\frac{3}{12}$ на 3:
$-\frac{1}{4}x > -6$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (">" на "<").
$x < (-6) \cdot (-4)$
$x < 24$

Ответ: $x \in (-\infty; 24)$

б) $\frac{1}{2}x - 3 < 2 - \frac{1}{3}x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x < 2 + 3$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6 и сложим числа в правой части:
$\frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x < 5$
$\frac{5}{6}x < 5$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{6}{5}$ (число положительное, поэтому знак неравенства не меняется):
$x < 5 \cdot \frac{6}{5}$
$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

в) $1 - \frac{3}{7}x - 5 < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$

Сначала упростим левую часть, сгруппировав числовые члены: $1 - 5 = -4$.
$-4 - \frac{3}{7}x < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-\frac{3}{7}x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{21}x < 6 + 4$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 21:
$-\frac{3 \cdot 3}{21}x + \frac{1 \cdot 7}{21}x + \frac{2}{21}x < 10$
$-\frac{9}{21}x + \frac{7}{21}x + \frac{2}{21}x < 10$
Сложим коэффициенты при $x$:
$\frac{-9 + 7 + 2}{21}x < 10$
$\frac{0}{21}x < 10$
$0 \cdot x < 10$
$0 < 10$
Полученное неравенство $0 < 10$ является верным числовым неравенством. Оно не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

г) $2x - \frac{3}{5}x > 1\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$2x - \frac{3}{5}x > \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$2x - \frac{3}{5}x - \frac{3}{2}x + \frac{2}{5}x > 2 - \frac{1}{2}$
Сгруппируем и упростим подобные слагаемые в каждой части неравенства.
В левой части: $(2 - \frac{3}{5} - \frac{3}{2} + \frac{2}{5})x$. В правой части: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$(2 - \frac{1}{5} - \frac{3}{2})x > \frac{3}{2}$
Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю 10:
$(\frac{20}{10} - \frac{2}{10} - \frac{15}{10})x > \frac{3}{2}$
$\frac{20 - 2 - 15}{10}x > \frac{3}{2}$
$\frac{3}{10}x > \frac{3}{2}$
Умножим обе части на $\frac{10}{3}$ (положительное число, знак не меняется):
$x > \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{3}$
$x > \frac{30}{6}$
$x > 5$

Ответ: $x \in (5; +\infty)$

д) $\frac{2}{5}x - 1 < -\frac{3}{4}x - \frac{13}{20}$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа вправо:
$\frac{2}{5}x + \frac{3}{4}x < 1 - \frac{13}{20}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 20. В правой части представим 1 как $\frac{20}{20}$ и выполним вычитание.
$\frac{2 \cdot 4}{20}x + \frac{3 \cdot 5}{20}x < \frac{20}{20} - \frac{13}{20}$
$\frac{8}{20}x + \frac{15}{20}x < \frac{7}{20}$
Сложим коэффициенты при $x$:
$\frac{23}{20}x < \frac{7}{20}$
Умножим обе части неравенства на 20, чтобы избавиться от знаменателей:
$23x < 7$
Разделим обе части на 23:
$x < \frac{7}{23}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{23})$

е) $3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x < 14 + \frac{1}{12}x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}x < 14 - 3$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 12 и упростим правую часть:
$-\frac{3}{12}x + \frac{4}{12}x - \frac{1}{12}x < 11$
Сложим коэффициенты при $x$ в левой части:
$\frac{-3 + 4 - 1}{12}x < 11$
$\frac{0}{12}x < 11$
$0 \cdot x < 11$
$0 < 11$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$