Номер 41, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

41. а) $2(x-1) < 4;$

б) $3(2x-1) > 12;$

в) $4(1+x) < 8-4x;$

г) $25-10x > -5(2x-7).$

а) Исходное неравенство: $2(x - 1) < 4$.
Для решения данного линейного неравенства можно сначала разделить обе его части на положительное число 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.
$\frac{2(x - 1)}{2} < \frac{4}{2}$
$x - 1 < 2$
Теперь, чтобы выразить $x$, прибавим 1 к обеим частям неравенства (это эквивалентно переносу -1 в правую часть с изменением знака).
$x < 2 + 1$
$x < 3$
Решением неравенства являются все действительные числа, которые строго меньше 3. Это можно записать в виде числового промежутка.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б) Исходное неравенство: $3(2x - 1) > 12$.
Разделим обе части неравенства на положительное число 3, при этом знак неравенства сохранится.
$\frac{3(2x - 1)}{3} > \frac{12}{3}$
$2x - 1 > 4$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$.
$2x > 4 + 1$
$2x > 5$
Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится.
$x > \frac{5}{2}$
Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $x > 2.5$.
Решением неравенства являются все действительные числа, большие 2.5.
Ответ: $x \in (2.5; +\infty)$.

В) Исходное неравенство: $4(1 + x) < 8 - 4x$.
Сначала раскроем скобки в левой части, умножив множитель 4 на каждое слагаемое в скобках.
$4 \cdot 1 + 4 \cdot x < 8 - 4x$
$4 + 4x < 8 - 4x$
Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а постоянные члены (числа) — в правой. Для этого прибавим $4x$ к обеим частям и вычтем 4 из обеих частей.
$4x + 4x < 8 - 4$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$8x < 4$
Разделим обе части неравенства на положительный коэффициент при $x$, то есть на 8.
$x < \frac{4}{8}$
Сократим полученную дробь:
$x < \frac{1}{2}$
Решением являются все действительные числа, меньшие 0.5.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

Г) Исходное неравенство: $25 - 10x > -5(2x - 7)$.
Раскроем скобки в правой части неравенства. Умножим -5 на каждый член в скобках, обращая внимание на знаки.
$25 - 10x > (-5) \cdot 2x + (-5) \cdot (-7)$
$25 - 10x > -10x + 35$
Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. Для этого прибавим $10x$ к обеим частям и вычтем 25 из обеих частей.
$-10x + 10x > 35 - 25$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$0 \cdot x > 10$
$0 > 10$
В результате преобразований мы получили неверное числовое неравенство, которое не содержит переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство неверно при любом значении $x$. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.