Номер 47, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

47. Что значит решить систему линейных неравенств с одним неизвестным?

Решить систему линейных неравенств с одним неизвестным — это значит найти все значения переменной (неизвестного), при подстановке которых каждое из неравенств системы превращается в верное числовое неравенство.

Совокупность всех таких значений переменной называется решением системы неравенств. Таким образом, искомое решение должно удовлетворять каждому неравенству в системе одновременно. Если таких значений не существует, говорят, что система не имеет решений.

Алгоритм решения системы линейных неравенств с одним неизвестным обычно включает следующие шаги:

1. Решение каждого неравенства по отдельности. Для этого выполняют преобразования с каждым неравенством, чтобы выразить переменную. Решением отдельного линейного неравенства является числовой промежуток (луч, интервал, отрезок или полуинтервал).
2. Нахождение пересечения множеств решений. После того как найдены решения для каждого отдельного неравенства, необходимо найти их общую часть — пересечение. Это и будет решением всей системы. Для наглядности удобно изображать множества решений на числовой оси.

Рассмотрим пример. Пусть дана система:

$ \begin{cases} 3x + 6 > 0 \\ 10 - 2x \ge 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$3x > -6$
$x > -2$
Решение этого неравенства — промежуток $(-2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$-2x \ge 4 - 10$
$-2x \ge -6$
При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 3$
Решение этого неравенства — промежуток $(-\infty; 3]$.

3. Найдем пересечение полученных множеств решений: $(-2; +\infty) \cap (-\infty; 3]$. На числовой оси это будет промежуток, где штриховки для обоих решений совпадают. Общей частью является полуинтервал $(-2; 3]$.

Таким образом, решением данной системы является множество всех чисел $x$, таких что $-2 < x \le 3$.

Возможны случаи, когда система не имеет решений (промежутки не пересекаются) или решением является одно число (например, для системы $x \ge 5$ и $x \le 5$ решением будет $x = 5$).

Ответ: Решить систему линейных неравенств с одним неизвестным — это найти множество всех значений переменной, которые являются решением для каждого из неравенств системы одновременно. Это множество находится как пересечение множеств решений всех неравенств, входящих в систему. Если пересечение пусто, система не имеет решений.