Номер 42, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

42. Доказываем. Докажите, что данное неравенство равносильно линейному неравенству, и найдите все его решения:

a) $x(2 - x) < (3 - x)(3 + x)$;

б) $3(x - 1)(x + 1) > 3(1 + x^2)$;

в) $(x - 2)(x - 3) + (4 - x)(x + 2) > 0$;

г) $(2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) > 0.$

а)Исходное неравенство: $x(2 - x) < (3 - x)(3 + x)$.
Для доказательства равносильности линейному неравенству и нахождения решений, упростим данное неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.
В левой части: $x(2 - x) = 2x - x^2$.
В правой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(3 - x)(3 + x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$.
Неравенство принимает вид: $2x - x^2 < 9 - x^2$.
Прибавим к обеим частям неравенства $x^2$:
$2x - x^2 + x^2 < 9 - x^2 + x^2$
$2x < 9$
Мы видим, что квадратичные члены взаимно уничтожились, и мы получили линейное неравенство. Это доказывает, что исходное неравенство равносильно линейному. Теперь найдем его решение.
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{9}{2}$
$x < 4.5$
Решение в виде интервала: $(-\infty; 4.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4.5)$

б)Исходное неравенство: $3(x - 1)(x + 1) > 3(1 + x^2)$.
Упростим неравенство. Разделим обе части на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется):
$(x - 1)(x + 1) > 1 + x^2$
В левой части применим формулу разности квадратов:
$x^2 - 1 > 1 + x^2$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x^2 - x^2 > 1 + 1$
$0 > 2$
Квадратичные члены сократились, и мы получили неверное числовое неравенство $0 > 2$, которое является частным случаем линейного неравенства (можно записать как $0 \cdot x > 2$). Это доказывает, что исходное неравенство равносильно линейному. Так как полученное неравенство ложно при любом значении $x$, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет

в)Исходное неравенство: $(x - 2)(x - 3) + (4 - x)(x + 2) > 0$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$(x^2 - 3x - 2x + 6) + (4x + 8 - x^2 - 2x) > 0$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(x^2 - 5x + 6) + (-x^2 + 2x + 8) > 0$
Теперь раскроем скобки и снова приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 2x + 8 > 0$
$(x^2 - x^2) + (-5x + 2x) + (6 + 8) > 0$
$-3x + 14 > 0$
Квадратичные члены взаимно уничтожились, и мы получили линейное неравенство. Это доказывает равносильность. Решим его:
$-3x > -14$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-14}{-3}$
$x < \frac{14}{3}$
Решение в виде интервала: $(-\infty; \frac{14}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{14}{3})$

г)Исходное неравенство: $(2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) > 0$.
Раскроем скобки:
Первое произведение: $(2x - 1)(x + 2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$.
Второе произведение: $(x - 5)(2x + 1) = 2x^2 + x - 10x - 5 = 2x^2 - 9x - 5$.
Подставим результаты в неравенство:
$(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 - 9x - 5) > 0$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 + 9x + 5 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 2x^2) + (3x + 9x) + (-2 + 5) > 0$
$12x + 3 > 0$
Квадратичные члены сократились, и мы получили линейное неравенство, что и требовалось доказать. Решим его:
$12x > -3$
$x > -\frac{3}{12}$
$x > -\frac{1}{4}$
Решение в виде интервала: $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$