Номер 44, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

44. Может ли неравенство первой степени с одним неизвестным:

а) быть верным при любом значении неизвестного;

б) не иметь решений?

Неравенство первой степени с одним неизвестным (линейное неравенство) можно записать в общем виде как $ax+b > 0$ или $ax+b < 0$ (а также с нестрогими знаками $\geq$ и $\leq$). После переноса свободного члена $b$ в правую часть, неравенство принимает вид $ax > -b$ или $ax < -b$. Обозначим $-b$ как $c$, тогда общий вид неравенства — $ax > c$ (или $ax < c$).

Решение такого неравенства зависит от значения коэффициента $a$.

а) быть верным при любом значении неизвестного;

Да, неравенство первой степени может быть верным при любом значении неизвестного. Это происходит в случае, когда в процессе преобразований коэффициент при неизвестном становится равным нулю, а получившееся числовое неравенство оказывается верным.

Рассмотрим случай, когда $a=0$. Неравенство $ax > c$ превращается в $0 \cdot x > c$, то есть $0 > c$.

Если полученное числовое неравенство $0 > c$ является верным (это будет, если $c$ — любое отрицательное число), то исходное неравенство будет верным для абсолютно любого значения $x$, так как левая часть ($0 \cdot x$) всегда будет равна нулю.

Пример:

Рассмотрим неравенство $2(x+3) > 2x+1$.

Раскроем скобки:

$2x + 6 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 2x > 1 - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot x > -5$

В результате мы получили верное числовое неравенство $0 > -5$. Так как это утверждение истинно и не зависит от $x$, исходное неравенство выполняется при любом значении неизвестного.

Ответ: Да, может.

б) не иметь решений?

Да, неравенство первой степени может не иметь решений. Это происходит в случае, когда коэффициент при неизвестном становится равным нулю, а получившееся числовое неравенство оказывается неверным (ложным).

Снова рассмотрим случай, когда $a=0$ в неравенстве $ax > c$. Мы получаем $0 \cdot x > c$, то есть $0 > c$.

Если полученное числовое неравенство $0 > c$ является ложным (это будет, если $c$ — положительное число или ноль, т.е. $c \ge 0$), то исходное неравенство не будет иметь решений, так как не существует такого значения $x$, которое могло бы превратить ложное утверждение в истинное.

Пример:

Рассмотрим неравенство $4x - 5 > 4x + 2$.

Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 4x > 2 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot x > 7$

В результате мы получили неверное числовое неравенство $0 > 7$. Так как это утверждение ложно при любом значении $x$, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Да, может.